Номер 18.22, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.22, страница 114.

Решите неравенство:

18.22. a) $\frac{1}{\log_2 x - 4} > \frac{1}{\log_2 x}$;

б) $\frac{1}{1 - \lg x} < \frac{2 \lg x - 5}{1 + \lg x}$;

в) $\frac{4}{\lg 10x} - \frac{5}{\lg 100x} \ge 0$;

г) $2 + \frac{\log_2^2 x}{1 + \log_2 x} > \log_2 x.$

а)

Исходное неравенство: $ \frac{1}{\log_2 x - 4} > \frac{1}{\log_2 x} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, а знаменатели не должны равняться нулю.

$ \begin{cases} x > 0 \\ \log_2 x - 4 \neq 0 \\ \log_2 x \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ \log_2 x \neq 4 \\ x \neq 2^0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 16 \\ x \neq 1 \end{cases} $

ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, 16) \cup (16, +\infty)$.

2. Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{1}{\log_2 x - 4} - \frac{1}{\log_2 x} > 0 $

$ \frac{\log_2 x - (\log_2 x - 4)}{(\log_2 x - 4)(\log_2 x)} > 0 $

$ \frac{4}{(\log_2 x - 4)(\log_2 x)} > 0 $

3. Так как числитель дроби (4) является положительным числом, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель также был положительным:

$ (\log_2 x - 4)(\log_2 x) > 0 $

4. Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \log_2 x $. Неравенство примет вид:

$ t(t - 4) > 0 $

Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни уравнения $t(t-4)=0$ равны $t_1=0$ и $t_2=4$. Парабола $y=t(t-4)$ ветвями вверх, значит, положительные значения находятся за пределами корней.

Решение для $t$: $ t < 0 $ или $ t > 4 $.

5. Вернемся к исходной переменной $x$:

Для $ t < 0 $: $ \log_2 x < 0 \Rightarrow \log_2 x < \log_2 1 \Rightarrow x < 1 $.

Для $ t > 4 $: $ \log_2 x > 4 \Rightarrow \log_2 x > \log_2 16 \Rightarrow x > 16 $.

6. Учтем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, 16) \cup (16, +\infty)$.

Из $x < 1$ с учетом ОДЗ получаем $x \in (0, 1)$.

Из $x > 16$ с учетом ОДЗ получаем $x \in (16, +\infty)$.

Объединяя решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (0, 1) \cup (16, +\infty)$.

б)

Исходное неравенство: $ \frac{1}{1 - \lg x} < \frac{2 \lg x - 5}{1 + \lg x} $

1. ОДЗ:

$ \begin{cases} x > 0 \\ 1 - \lg x \neq 0 \\ 1 + \lg x \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ \lg x \neq 1 \\ \lg x \neq -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 10 \\ x \neq 0.1 \end{cases} $

ОДЗ: $x \in (0, 0.1) \cup (0.1, 10) \cup (10, +\infty)$.

2. Перенесем все в левую часть:

$ \frac{1}{1 - \lg x} - \frac{2 \lg x - 5}{1 + \lg x} < 0 $

3. Сделаем замену $ t = \lg x $:

$ \frac{1}{1 - t} - \frac{2t - 5}{1 + t} < 0 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{(1 + t) - (2t - 5)(1 - t)}{(1 - t)(1 + t)} < 0 $

$ \frac{1 + t - (2t - 2t^2 - 5 + 5t)}{1 - t^2} < 0 $

$ \frac{1 + t - (-2t^2 + 7t - 5)}{1 - t^2} < 0 $

$ \frac{2t^2 - 6t + 6}{1 - t^2} < 0 $

4. Проанализируем числитель $2t^2 - 6t + 6 = 2(t^2 - 3t + 3)$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $t^2 - 3t + 3$: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент (1) положителен, то выражение $t^2 - 3t + 3$ всегда положительно. Следовательно, числитель $2(t^2 - 3t + 3)$ всегда положителен.

5. Таким образом, знак дроби зависит только от знака знаменателя. Неравенство равносильно следующему:

$ 1 - t^2 < 0 \Rightarrow t^2 > 1 \Rightarrow |t| > 1 $

Это дает два случая: $ t < -1 $ или $ t > 1 $.

6. Вернемся к переменной $x$:

Для $ t < -1 $: $ \lg x < -1 \Rightarrow \lg x < \lg 0.1 \Rightarrow x < 0.1 $.

Для $ t > 1 $: $ \lg x > 1 \Rightarrow \lg x > \lg 10 \Rightarrow x > 10 $.

7. Учтем ОДЗ: $x \in (0, 0.1) \cup (0.1, 10) \cup (10, +\infty)$.

Из $x < 0.1$ с учетом ОДЗ получаем $x \in (0, 0.1)$.

Из $x > 10$ с учетом ОДЗ получаем $x \in (10, +\infty)$.

Ответ: $x \in (0, 0.1) \cup (10, +\infty)$.

в)

Исходное неравенство: $ \frac{4}{\lg 10x} - \frac{5}{\lg 100x} \ge 0 $

1. ОДЗ:

$ \begin{cases} x > 0 \\ \lg 10x \neq 0 \\ \lg 100x \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ 10x \neq 1 \\ 100x \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 0.1 \\ x \neq 0.01 \end{cases} $

ОДЗ: $x \in (0, 0.01) \cup (0.01, 0.1) \cup (0.1, +\infty)$.

2. Используем свойство логарифма произведения $ \log_a(bc) = \log_a b + \log_a c $:

$ \lg 10x = \lg 10 + \lg x = 1 + \lg x $

$ \lg 100x = \lg 100 + \lg x = 2 + \lg x $

Неравенство принимает вид:

$ \frac{4}{1 + \lg x} - \frac{5}{2 + \lg x} \ge 0 $

3. Сделаем замену $ t = \lg x $:

$ \frac{4}{1 + t} - \frac{5}{2 + t} \ge 0 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{4(2 + t) - 5(1 + t)}{(1 + t)(2 + t)} \ge 0 $

$ \frac{8 + 4t - 5 - 5t}{(1 + t)(2 + t)} \ge 0 $

$ \frac{3 - t}{(1 + t)(2 + t)} \ge 0 $

4. Решим неравенство методом интервалов для переменной $t$.

Нули числителя: $t=3$.

Нули знаменателя: $t=-1, t=-2$.

Наносим точки на числовую ось: -2, -1, 3 (точки -2 и -1 выколотые, точка 3 закрашенная).

Интервалы: $ (-\infty, -2), (-2, -1), (-1, 3], [3, +\infty) $.

Определяем знаки на интервалах. Для $ t > 3 $ (например, $t=4$) выражение $\frac{3-4}{(1+4)(2+4)}$ отрицательно. Далее знаки чередуются.

Получаем знаки: $ + $ на $(-\infty, -2)$, $ - $ на $(-2, -1)$, $ + $ на $(-1, 3]$, $ - $ на $(3, +\infty)$.

Нам нужно, чтобы выражение было $\ge 0$, поэтому выбираем интервалы со знаком "+":

$ t \in (-\infty, -2) \cup (-1, 3] $

5. Возвращаемся к $x$:

$ \lg x < -2 \Rightarrow x < 10^{-2} \Rightarrow x < 0.01 $

$ -1 < \lg x \le 3 \Rightarrow 10^{-1} < x \le 10^3 \Rightarrow 0.1 < x \le 1000 $

6. С учетом ОДЗ $x \in (0, 0.01) \cup (0.01, 0.1) \cup (0.1, +\infty)$ получаем:

$ x \in (0, 0.01) \cup (0.1, 1000] $.

Ответ: $x \in (0, 0.01) \cup (0.1, 1000]$.

г)

Исходное неравенство: $ 2 + \frac{\log_2^2 x}{1 + \log_2 x} > \log_2 x $

1. ОДЗ:

$ \begin{cases} x > 0 \\ 1 + \log_2 x \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ \log_2 x \neq -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 2^{-1} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 0.5 \end{cases} $

ОДЗ: $x \in (0, 0.5) \cup (0.5, +\infty)$.

2. Сделаем замену $ t = \log_2 x $:

$ 2 + \frac{t^2}{1 + t} > t $

3. Перенесем $t$ влево и приведем к общему знаменателю:

$ 2 - t + \frac{t^2}{1 + t} > 0 $

$ \frac{2(1 + t) - t(1+t) + t^2}{1 + t} > 0 $

$ \frac{2 + 2t - t - t^2 + t^2}{1 + t} > 0 $

$ \frac{t + 2}{1 + t} > 0 $

4. Решим неравенство методом интервалов для $t$.

Нули числителя: $t=-2$. Нули знаменателя: $t=-1$.

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака.

Случай 1: $ t+2 > 0 $ и $ 1+t > 0 \Rightarrow t > -2 $ и $ t > -1 \Rightarrow t > -1 $.

Случай 2: $ t+2 < 0 $ и $ 1+t < 0 \Rightarrow t < -2 $ и $ t < -1 \Rightarrow t < -2 $.

Решение для $t$: $ t \in (-\infty, -2) \cup (-1, +\infty) $.

5. Возвращаемся к $x$:

$ \log_2 x < -2 \Rightarrow \log_2 x < \log_2 (2^{-2}) \Rightarrow x < 0.25 $.

$ \log_2 x > -1 \Rightarrow \log_2 x > \log_2 (2^{-1}) \Rightarrow x > 0.5 $.

6. С учетом ОДЗ $x \in (0, 0.5) \cup (0.5, +\infty)$ получаем:

Из $x < 0.25$ с учетом ОДЗ получаем $x \in (0, 0.25)$.

Из $x > 0.5$ с учетом ОДЗ получаем $x \in (0.5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (0, 0.25) \cup (0.5, +\infty)$.