Номер 18.17, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.17, страница 113.

Решите неравенство:

18.17. a) $log^2_2 x > 4 log_2 x - 3$;

б) $log^2_{\frac{1}{2}} x + 3 log_{\frac{1}{2}} x < -2$;

в) $log^2_4 x - log_4 x \leq 2$;

г) $log^2_{0,2} x \geq 6 - log_{0,2} x$.

а) $\log_2^2 x > 4 \log_2 x - 3$

1. Область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

2. Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$\log_2^2 x - 4 \log_2 x + 3 > 0$

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Неравенство примет вид:
$t^2 - 4t + 3 > 0$

4. Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 4t + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

5. Парабола $y = t^2 - 4t + 3$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $t^2 - 4t + 3 > 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями. То есть, $t < 1$ или $t > 3$.

6. Выполним обратную замену:
$\log_2 x < 1$ или $\log_2 x > 3$.

7. Решим полученные логарифмические неравенства. Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
- Из $\log_2 x < 1$ следует $x < 2^1$, то есть $x < 2$.
- Из $\log_2 x > 3$ следует $x > 2^3$, то есть $x > 8$.

8. Объединим полученные решения с ОДЗ ($x > 0$):
- $0 < x < 2$
- $x > 8$

Ответ: $x \in (0; 2) \cup (8; +\infty)$.

б) $\log_{\frac{1}{2}}^2 x + 3 \log_{\frac{1}{2}} x < -2$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Перенесем все члены в левую часть:
$\log_{\frac{1}{2}}^2 x + 3 \log_{\frac{1}{2}} x + 2 < 0$

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{\frac{1}{2}} x$. Неравенство примет вид:
$t^2 + 3t + 2 < 0$

4. Найдем корни уравнения $t^2 + 3t + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = -2$ и $t_2 = -1$.

5. Парабола $y = t^2 + 3t + 2$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $t^2 + 3t + 2 < 0$ выполняется, когда $t$ находится между корнями:
$-2 < t < -1$

6. Выполним обратную замену:
$-2 < \log_{\frac{1}{2}} x < -1$

7. Решим двойное логарифмическое неравенство. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, знаки неравенства меняются на противоположные:
$(\frac{1}{2})^{-1} < x < (\frac{1}{2})^{-2}$
$2 < x < 4$

8. Полученное решение $x \in (2; 4)$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (2; 4)$.

в) $\log_4^2 x - \log_4 x \le 2$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Перенесем все члены в левую часть:
$\log_4^2 x - \log_4 x - 2 \le 0$

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_4 x$. Неравенство примет вид:
$t^2 - t - 2 \le 0$

4. Найдем корни уравнения $t^2 - t - 2 = 0$. Корни $t_1 = -1$ и $t_2 = 2$.

5. Парабола $y = t^2 - t - 2$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $t^2 - t - 2 \le 0$ выполняется, когда $t$ находится между корнями, включая сами корни:
$-1 \le t \le 2$

6. Выполним обратную замену:
$-1 \le \log_4 x \le 2$

7. Решим двойное логарифмическое неравенство. Так как основание логарифма $4 > 1$, знаки неравенства сохраняются:
$4^{-1} \le x \le 4^2$
$\frac{1}{4} \le x \le 16$

8. Полученное решение $x \in [\frac{1}{4}; 16]$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in [\frac{1}{4}; 16]$.

г) $\log_{0.2}^2 x \ge 6 - \log_{0.2} x$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Перенесем все члены в левую часть:
$\log_{0.2}^2 x + \log_{0.2} x - 6 \ge 0$

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{0.2} x$. Неравенство примет вид:
$t^2 + t - 6 \ge 0$

4. Найдем корни уравнения $t^2 + t - 6 = 0$. Корни $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.

5. Парабола $y = t^2 + t - 6$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $t^2 + t - 6 \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни:
$t \le -3$ или $t \ge 2$.

6. Выполним обратную замену:
$\log_{0.2} x \le -3$ или $\log_{0.2} x \ge 2$.

7. Решим полученные логарифмические неравенства. Так как основание логарифма $0 < 0.2 < 1$, знаки неравенства меняются на противоположные:
- Из $\log_{0.2} x \le -3$ следует $x \ge (0.2)^{-3} = (\frac{1}{5})^{-3} = 5^3 = 125$.
- Из $\log_{0.2} x \ge 2$ следует $x \le (0.2)^2 = (\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25}$.

8. Объединим полученные решения с ОДЗ ($x > 0$):
- $x \ge 125$
- $0 < x \le \frac{1}{25}$

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{25}] \cup [125; +\infty)$.