Номер 18.24, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.24, страница 114.

18.24. a) $log_{\frac{1}{3}}(13 + x) < 2 log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{x + 1} + 2);$

б) $2 log_{12}(\sqrt{x + 5} + 1) < log_{12}(x + 10).$

а) $\log_{\frac{1}{3}}(13 + x) < 2\log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{x+1} + 2)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны, а подкоренное выражение — неотрицательно.

$\begin{cases} 13 + x > 0 \\ \sqrt{x+1} + 2 > 0 \\ x+1 \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x > -13$.
Второе неравенство $\sqrt{x+1} + 2 > 0$ выполняется всегда, так как $\sqrt{x+1} \ge 0$, следовательно $\sqrt{x+1} + 2 \ge 2$.
Из третьего неравенства получаем $x \ge -1$.
Пересекая условия $x > -13$ и $x \ge -1$, получаем ОДЗ: $x \in [-1, +\infty)$.

2. Преобразуем исходное неравенство, используя свойство логарифма $n\log_a b = \log_a b^n$:
$\log_{\frac{1}{3}}(13 + x) < \log_{\frac{1}{3}}((\sqrt{x+1} + 2)^2)$

3. Так как основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$13 + x > (\sqrt{x+1} + 2)^2$

4. Раскроем скобки и решим полученное неравенство:
$13 + x > (x+1) + 4\sqrt{x+1} + 4$
$13 + x > x + 5 + 4\sqrt{x+1}$
$8 > 4\sqrt{x+1}$
$2 > \sqrt{x+1}$

5. Так как обе части неравенства неотрицательны, можем возвести их в квадрат:
$4 > x+1$
$3 > x$, или $x < 3$.

6. Найдем пересечение полученного решения $x < 3$ с ОДЗ $x \ge -1$.
Получаем $-1 \le x < 3$.

Ответ: $x \in [-1, 3)$.

б) $2\log_{12}(\sqrt{x+5} + 1) < \log_{12}(x+10)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} \sqrt{x+5} + 1 > 0 \\ x+10 > 0 \\ x+5 \ge 0 \end{cases}$

Первое неравенство $\sqrt{x+5} + 1 > 0$ выполняется всегда, так как $\sqrt{x+5} \ge 0$, следовательно $\sqrt{x+5} + 1 \ge 1$.
Из второго неравенства получаем $x > -10$.
Из третьего неравенства получаем $x \ge -5$.
Пересекая условия $x > -10$ и $x \ge -5$, получаем ОДЗ: $x \in [-5, +\infty)$.

2. Преобразуем исходное неравенство, используя свойство логарифма $n\log_a b = \log_a b^n$:
$\log_{12}((\sqrt{x+5} + 1)^2) < \log_{12}(x+10)$

3. Так как основание логарифма $12 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:
$(\sqrt{x+5} + 1)^2 < x+10$

4. Раскроем скобки и решим полученное неравенство:
$(x+5) + 2\sqrt{x+5} + 1 < x+10$
$x+6 + 2\sqrt{x+5} < x+10$
$2\sqrt{x+5} < 4$
$\sqrt{x+5} < 2$

5. Так как обе части неравенства неотрицательны, можем возвести их в квадрат:
$x+5 < 4$
$x < -1$.

6. Найдем пересечение полученного решения $x < -1$ с ОДЗ $x \ge -5$.
Получаем $-5 \le x < -1$.

Ответ: $x \in [-5, -1)$.