Номер 18.23, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.23, страница 114.

18.23. a) $2 \log_{\sqrt{2}} 2 + \log_{\sqrt{2}} \left(2^{x^2-1} - \frac{1}{4}\right) < \log_{\sqrt{2}} 31;$

б) $\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} \left(3^{x^2-4} - \frac{1}{9}\right) + 2 \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 3 \ge \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 80.$

а) $2 \log_{\sqrt{2}} 2 + \log_{\sqrt{2}} \left( 2^{x^2-1} - \frac{1}{4} \right) < \log_{\sqrt{2}} 31$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$2^{x^2-1} - \frac{1}{4} > 0$

$2^{x^2-1} > \frac{1}{4}$

$2^{x^2-1} > 2^{-2}$

Так как основание степени $2 > 1$, функция возрастающая, поэтому:

$x^2-1 > -2$

$x^2 > -1$

Это неравенство выполняется для любых действительных значений $x$, так как $x^2 \ge 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства логарифмов $n \log_b a = \log_b a^n$ и $\log_b a + \log_b c = \log_b (ac)$:

$2 \log_{\sqrt{2}} 2 = \log_{\sqrt{2}} 2^2 = \log_{\sqrt{2}} 4$.

Исходное неравенство принимает вид:

$\log_{\sqrt{2}} 4 + \log_{\sqrt{2}} \left( 2^{x^2-1} - \frac{1}{4} \right) < \log_{\sqrt{2}} 31$

$\log_{\sqrt{2}} \left( 4 \cdot \left( 2^{x^2-1} - \frac{1}{4} \right) \right) < \log_{\sqrt{2}} 31$

$\log_{\sqrt{2}} \left( 4 \cdot 2^{x^2-1} - 4 \cdot \frac{1}{4} \right) < \log_{\sqrt{2}} 31$

$\log_{\sqrt{2}} \left( 2^2 \cdot 2^{x^2-1} - 1 \right) < \log_{\sqrt{2}} 31$

$\log_{\sqrt{2}} \left( 2^{x^2+1} - 1 \right) < \log_{\sqrt{2}} 31$

3. Так как основание логарифма $\sqrt{2} > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства сохраняется:

$2^{x^2+1} - 1 < 31$

$2^{x^2+1} < 32$

$2^{x^2+1} < 2^5$

4. Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция возрастающая, поэтому переходим к неравенству для показателей степеней:

$x^2+1 < 5$

$x^2 < 4$

$x^2 - 4 < 0$

$(x-2)(x+2) < 0$

Решением этого неравенства является интервал $(-2; 2)$.

5. Решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(-2; 2)$.

б) $\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} \left( 3^{x^2-4} - \frac{1}{9} \right) + 2 \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 3 \ge \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 80$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$3^{x^2-4} - \frac{1}{9} > 0$

$3^{x^2-4} > \frac{1}{9}$

$3^{x^2-4} > 3^{-2}$

Так как основание степени $3 > 1$, функция возрастающая, поэтому:

$x^2-4 > -2$

$x^2 > 2$

Решением этого неравенства является объединение интервалов: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.

2. Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства логарифмов:

$2 \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 3 = \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 3^2 = \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 9$.

$\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} \left( 3^{x^2-4} - \frac{1}{9} \right) + \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 9 \ge \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 80$

$\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} \left( 9 \cdot \left( 3^{x^2-4} - \frac{1}{9} \right) \right) \ge \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 80$

$\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} \left( 9 \cdot 3^{x^2-4} - 9 \cdot \frac{1}{9} \right) \ge \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 80$

$\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} \left( 3^2 \cdot 3^{x^2-4} - 1 \right) \ge \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 80$

$\log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} \left( 3^{x^2-2} - 1 \right) \ge \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 80$

3. Так как основание логарифма $\frac{1}{\sqrt{3}}$ находится в интервале $(0; 1)$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства меняется на противоположный:

$3^{x^2-2} - 1 \le 80$

$3^{x^2-2} \le 81$

$3^{x^2-2} \le 3^4$

4. Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция возрастающая, поэтому:

$x^2 - 2 \le 4$

$x^2 \le 6$

$x^2 - 6 \le 0$

$(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6}) \le 0$

Решением этого неравенства является отрезок $[-\sqrt{6}; \sqrt{6}]$.

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{l} x \in [-\sqrt{6}; \sqrt{6}] \\ x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty) \end{array} \right.$

Пересечением этих множеств будет объединение полуинтервалов: $[-\sqrt{6}; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; \sqrt{6}]$.

Ответ: $[-\sqrt{6}; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; \sqrt{6}]$.