Номер 18.28, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.28, страница 115.

18.28. a) $\log_4(\sqrt{x} - 1) + \log_{\frac{1}{4}}(\sqrt{x} + 1) < \log_{\frac{1}{4}}(\sqrt{x} + 2);$

б) $\log_\pi(\sqrt[3]{x} - 5) + \log_{\frac{1}{\pi}}(\sqrt[3]{x} + 1) < \log_{\frac{1}{\pi}}\left(\frac{1}{3}\right) - \log_\pi(\sqrt[3]{x} + 1).$

а) $log_{4}(\sqrt{x} - 1) + log_{\frac{1}{4}}(\sqrt{x} + 1) < log_{\frac{1}{4}}(\sqrt{x} + 2)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, а подкоренное выражение — неотрицательным.

$ \begin{cases} x \ge 0 \\ \sqrt{x} - 1 > 0 \\ \sqrt{x} + 1 > 0 \\ \sqrt{x} + 2 > 0 \end{cases} $

Из второго неравенства получаем $\sqrt{x} > 1$, что означает $x > 1$. Это условие автоматически удовлетворяет всем остальным. Таким образом, ОДЗ: $x > 1$.

2. Приведем все логарифмы к одному основанию. Используем свойство $log_{a^k}(b) = \frac{1}{k}log_a(b)$ или $log_a(b) = -log_{\frac{1}{a}}(b)$. Преобразуем первый логарифм:

$log_{4}(\sqrt{x} - 1) = log_{(\frac{1}{4})^{-1}}(\sqrt{x} - 1) = -log_{\frac{1}{4}}(\sqrt{x} - 1)$

3. Подставим преобразованный логарифм в исходное неравенство:

$-log_{\frac{1}{4}}(\sqrt{x} - 1) + log_{\frac{1}{4}}(\sqrt{x} + 1) < log_{\frac{1}{4}}(\sqrt{x} + 2)$

4. Используем свойство разности логарифмов $log_a(b) - log_a(c) = log_a(\frac{b}{c})$:

$log_{\frac{1}{4}}(\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}) < log_{\frac{1}{4}}(\sqrt{x} + 2)$

5. Так как основание логарифма $a = \frac{1}{4}$ находится в интервале $(0; 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} > \sqrt{x} + 2$

6. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как $x > 1$, то $t > 1$.

$\frac{t + 1}{t - 1} > t + 2$

Поскольку $t > 1$, то $t - 1 > 0$. Мы можем умножить обе части неравенства на $(t - 1)$, не меняя знака неравенства:

$t + 1 > (t + 2)(t - 1)$

$t + 1 > t^2 - t + 2t - 2$

$t + 1 > t^2 + t - 2$

$0 > t^2 - 3$

$t^2 < 3$

Решением этого неравенства является $-\sqrt{3} < t < \sqrt{3}$.

7. Вернемся к переменной $x$, учитывая условие $t > 1$:

$1 < t < \sqrt{3}$

$1 < \sqrt{x} < \sqrt{3}$

Возведем все части неравенства в квадрат:

$1 < x < 3$

Полученный интервал удовлетворяет ОДЗ ($x > 1$).

Ответ: $(1; 3)$

б) $log_{\pi}(\sqrt[3]{x} - 5) + log_{\frac{1}{\pi}}(\sqrt[3]{x} + 1) < log_{\frac{1}{\pi}}(\frac{1}{3}) - log_{\pi}(\sqrt[3]{x} + 1)$

1. Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} \sqrt[3]{x} - 5 > 0 \\ \sqrt[3]{x} + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \sqrt[3]{x} > 5 \\ \sqrt[3]{x} > -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 125 \\ x > -1 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $x > 125$.

2. Приведем все логарифмы к основанию $\pi$, используя свойство $log_{\frac{1}{a}}(b) = -log_a(b)$:

$log_{\pi}(\sqrt[3]{x} - 5) - log_{\pi}(\sqrt[3]{x} + 1) < -log_{\pi}(\frac{1}{3}) - log_{\pi}(\sqrt[3]{x} + 1)$

3. Прибавим $log_{\pi}(\sqrt[3]{x} + 1)$ к обеим частям неравенства:

$log_{\pi}(\sqrt[3]{x} - 5) < -log_{\pi}(\frac{1}{3})$

4. Преобразуем правую часть, используя свойство $k \cdot log_a(b) = log_a(b^k)$:

$-log_{\pi}(\frac{1}{3}) = log_{\pi}((\frac{1}{3})^{-1}) = log_{\pi}(3)$

Неравенство принимает вид:

$log_{\pi}(\sqrt[3]{x} - 5) < log_{\pi}(3)$

5. Так как основание логарифма $a = \pi \approx 3.14 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$\sqrt[3]{x} - 5 < 3$

$\sqrt[3]{x} < 8$

Возведем обе части в куб:

$x < 8^3$

$x < 512$

6. Объединим полученное решение с ОДЗ ($x > 125$):

$125 < x < 512$

Ответ: $(125; 512)$