Номер 18.21, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.21, страница 113.

18.21. a) $\frac{1 - \log_4 x}{1 + 2 \log_4 x} \le \frac{1}{2}$;

б) $\frac{3 \log_{0.5} x}{2 - \log_{0.5} x} \ge 2 \log_{0.5} x + 1$;

в) $\left(\log_{\frac{1}{2}} x + 2\right)\left(2 - \log_{\frac{1}{2}} x\right) < \log_{\frac{1}{2}} \frac{x^3}{64}$;

г) $\frac{\log_{0.2} x + 3}{\log_{0.2} x - 3} \le \frac{1}{3}$.

а) $\frac{1 - \log_4 x}{1 + 2 \log_4 x} \le \frac{1}{2}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю.

1. $x > 0$

2. $1 + 2 \log_4 x \ne 0 \implies 2 \log_4 x \ne -1 \implies \log_4 x \ne -\frac{1}{2} \implies x \ne 4^{-1/2} \implies x \ne \frac{1}{2}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_4 x$. Неравенство примет вид:

$\frac{1 - t}{1 + 2t} \le \frac{1}{2}$

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{1 - t}{1 + 2t} - \frac{1}{2} \le 0$

$\frac{2(1 - t) - (1 + 2t)}{2(1 + 2t)} \le 0$

$\frac{2 - 2t - 1 - 2t}{2(1 + 2t)} \le 0$

$\frac{1 - 4t}{2(1 + 2t)} \le 0$

Решим это рациональное неравенство для $t$ методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя:

Корень числителя: $1 - 4t = 0 \implies t = \frac{1}{4}$ (точка включается).

Корень знаменателя: $1 + 2t = 0 \implies t = -\frac{1}{2}$ (точка исключается).

На числовой оси для $t$ отмечаем точки и определяем знаки. Неравенство выполняется, когда $t < -\frac{1}{2}$ или $t \ge \frac{1}{4}$.

Теперь выполним обратную замену:

1. $\log_4 x < -\frac{1}{2}$. Поскольку основание логарифма $4 > 1$, знак неравенства сохраняется: $x < 4^{-1/2} \implies x < \frac{1}{2}$.

2. $\log_4 x \ge \frac{1}{4}$. Знак неравенства сохраняется: $x \ge 4^{1/4} \implies x \ge (2^2)^{1/4} \implies x \ge 2^{1/2} \implies x \ge \sqrt{2}$.

Совместим полученные решения с ОДЗ $x \in (0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$:

Для $x < \frac{1}{2}$ с учетом ОДЗ получаем $x \in (0; \frac{1}{2})$.

Для $x \ge \sqrt{2}$ с учетом ОДЗ получаем $x \in [\sqrt{2}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{2}) \cup [\sqrt{2}; +\infty)$.

б) $\frac{3 \log_{0.5} x}{2 - \log_{0.5} x} \ge 2 \log_{0.5} x + 1$

ОДЗ: $x > 0$ и $2 - \log_{0.5} x \ne 0 \implies \log_{0.5} x \ne 2 \implies x \ne (0.5)^2 \implies x \ne 0.25$.

ОДЗ: $x \in (0; 0.25) \cup (0.25; +\infty)$.

Сделаем замену: $t = \log_{0.5} x$.

$\frac{3t}{2 - t} \ge 2t + 1$

$\frac{3t}{2 - t} - (2t + 1) \ge 0$

$\frac{3t - (2t + 1)(2 - t)}{2 - t} \ge 0$

$\frac{3t - (4t - 2t^2 + 2 - t)}{2 - t} \ge 0$

$\frac{3t - 3t + 2t^2 - 2}{2 - t} \ge 0$

$\frac{2t^2 - 2}{2 - t} \ge 0 \implies \frac{2(t-1)(t+1)}{2-t} \ge 0$

Решаем методом интервалов для $t$. Корни числителя $t = 1, t = -1$ (включаются). Корень знаменателя $t = 2$ (исключается).

Решением неравенства для $t$ является объединение интервалов $t \in (-\infty; -1] \cup [1; 2)$.

Выполним обратную замену. Так как основание логарифма $0.5 \in (0; 1)$, при переходе к $x$ знаки неравенств меняются на противоположные.

1. $t \le -1 \implies \log_{0.5} x \le -1 \implies x \ge (0.5)^{-1} \implies x \ge 2$.

2. $1 \le t < 2 \implies 1 \le \log_{0.5} x < 2 \implies (0.5)^2 < x \le (0.5)^1 \implies 0.25 < x \le 0.5$.

Оба полученных решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x \in (0.25; 0.5] \cup [2; +\infty)$.

в) $(\log_{1/2} x + 2)(2 - \log_{1/2} x) < \log_{1/2} \frac{x^3}{64}$

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем неравенство. Левую часть упростим по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$4 - (\log_{1/2} x)^2 < \log_{1/2} \frac{x^3}{64}$

Правую часть упростим по свойствам логарифмов:

$\log_{1/2} \frac{x^3}{64} = \log_{1/2} x^3 - \log_{1/2} 64 = 3\log_{1/2} x - \log_{1/2} (1/2)^{-6} = 3\log_{1/2} x + 6$.

Неравенство принимает вид:

$4 - (\log_{1/2} x)^2 < 3\log_{1/2} x + 6$

Сделаем замену $t = \log_{1/2} x$.

$4 - t^2 < 3t + 6$

$0 < t^2 + 3t + 2$

Решим квадратное неравенство $t^2 + 3t + 2 > 0$. Корни уравнения $t^2 + 3t + 2 = 0$ равны $t_1 = -2, t_2 = -1$. Так как парабола направлена ветвями вверх, неравенство выполняется при $t < -2$ или $t > -1$.

Выполним обратную замену. Основание логарифма $\frac{1}{2} \in (0; 1)$, поэтому знаки неравенств меняются.

1. $\log_{1/2} x < -2 \implies x > (\frac{1}{2})^{-2} \implies x > 4$.

2. $\log_{1/2} x > -1 \implies x < (\frac{1}{2})^{-1} \implies x < 2$.

Учитывая ОДЗ $x > 0$, получаем объединение решений.

Ответ: $x \in (0; 2) \cup (4; +\infty)$.

г) $\frac{\log_{0.2} x + 3}{\log_{0.2} x - 3} \le \frac{1}{3}$

ОДЗ: $x > 0$ и $\log_{0.2} x - 3 \ne 0 \implies \log_{0.2} x \ne 3 \implies x \ne (0.2)^3 \implies x \ne 0.008$.

ОДЗ: $x \in (0; 0.008) \cup (0.008; +\infty)$.

Сделаем замену: $t = \log_{0.2} x$.

$\frac{t + 3}{t - 3} \le \frac{1}{3}$

$\frac{t + 3}{t - 3} - \frac{1}{3} \le 0$

$\frac{3(t + 3) - (t - 3)}{3(t - 3)} \le 0$

$\frac{3t + 9 - t + 3}{3(t - 3)} \le 0$

$\frac{2t + 12}{3(t - 3)} \le 0$

Решаем методом интервалов для $t$. Корень числителя $t = -6$ (включается). Корень знаменателя $t = 3$ (исключается).

Решением является интервал $t \in [-6; 3)$.

Выполним обратную замену: $-6 \le \log_{0.2} x < 3$.

Так как основание $0.2 \in (0; 1)$, знаки неравенств меняются:

$(0.2)^3 < x \le (0.2)^{-6}$

$0.008 < x \le (\frac{1}{5})^{-6}$

$0.008 < x \le 5^6$

$0.008 < x \le 15625$

Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (0.008; 15625]$.