Номер 18.18, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.18, страница 113.

18.18. a) $2 \log^2_{0,3} (x + 1) - 7 \log_{0,3} (x + 1) - 4 \le 0;$

б) $3 \log^2_4 x - 7 \log_4 16x + 30 < 0;$

в) $3 \log^2_{\frac{1}{3}} (2x + 1) + 5 \log_{\frac{1}{3}} (2x + 1) - 2 > 0;$

г) $\log^2_3 x + 3 \log_3 9x - 24 < 0.$

a) $2\log_{0,3}^2(x+1) - 7\log_{0,3}(x+1) - 4 \le 0$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$x + 1 > 0 \implies x > -1$.
2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{0,3}(x+1)$. Неравенство примет вид квадратного неравенства:
$2t^2 - 7t - 4 \le 0$.
3. Решим квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения $2t^2 - 7t - 4 = 0$.
Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.
Корни $t_1 = \frac{7 - 9}{4} = -0,5$ и $t_2 = \frac{7 + 9}{4} = 4$.
Парабола $y = 2t^2 - 7t - 4$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями (включая их):
$-0,5 \le t \le 4$.
4. Вернемся к исходной переменной:
$-0,5 \le \log_{0,3}(x+1) \le 4$.
5. Решим двойное логарифмическое неравенство. Так как основание логарифма $0,3 < 1$, логарифмическая функция является убывающей, и при переходе к аргументам знаки неравенства меняются на противоположные:
$(0,3)^4 \le x+1 \le (0,3)^{-0,5}$.
Вычислим значения границ:
$(0,3)^4 = 0,0081$.
$(0,3)^{-0,5} = (\frac{3}{10})^{-1/2} = (\frac{10}{3})^{1/2} = \sqrt{\frac{10}{3}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{30}}{3}$.
Получаем:
$0,0081 \le x+1 \le \frac{\sqrt{30}}{3}$.
Вычтем 1 из всех частей неравенства:
$0,0081 - 1 \le x \le \frac{\sqrt{30}}{3} - 1$.
$-0,9919 \le x \le \frac{\sqrt{30}}{3} - 1$.
6. Сравним полученное решение с ОДЗ ($x > -1$). Так как $-0,9919 > -1$, решение полностью удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x \in [-0,9919; \frac{\sqrt{30}}{3} - 1]$.

б) $3\log_4^2 x - 7\log_4 16x + 30 < 0$
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Преобразуем логарифм произведения, используя свойство $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$:
$\log_4(16x) = \log_4 16 + \log_4 x = 2 + \log_4 x$.
Подставим в неравенство:
$3\log_4^2 x - 7(2 + \log_4 x) + 30 < 0$
$3\log_4^2 x - 14 - 7\log_4 x + 30 < 0$
$3\log_4^2 x - 7\log_4 x + 16 < 0$.
3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_4 x$.
$3t^2 - 7t + 16 < 0$.
4. Решим квадратное неравенство. Найдем дискриминант уравнения $3t^2 - 7t + 16 = 0$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 49 - 192 = -143$.
5. Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 3 > 0$, квадратный трехчлен $3t^2 - 7t + 16$ принимает только положительные значения при любых действительных $t$.
Следовательно, неравенство $3t^2 - 7t + 16 < 0$ не имеет решений.
Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

в) $3\log_{\frac{1}{3}}^2(2x+1) + 5\log_{\frac{1}{3}}(2x+1) - 2 > 0$
1. ОДЗ: $2x + 1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -0,5$.
2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{\frac{1}{3}}(2x+1)$.
$3t^2 + 5t - 2 > 0$.
3. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $3t^2 + 5t - 2 = 0$.
$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$t_1 = \frac{-5 - 7}{6} = -2$, $t_2 = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Парабола $y=3t^2+5t-2$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями:
$t < -2$ или $t > \frac{1}{3}$.
4. Вернемся к исходной переменной. Получаем совокупность двух неравенств:
$\log_{\frac{1}{3}}(2x+1) < -2$ или $\log_{\frac{1}{3}}(2x+1) > \frac{1}{3}$.
5. Решим каждое неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, поэтому знаки неравенств меняются на противоположные.
a) $\log_{\frac{1}{3}}(2x+1) < -2 \implies 2x+1 > (\frac{1}{3})^{-2} \implies 2x+1 > 9 \implies 2x > 8 \implies x > 4$.
b) $\log_{\frac{1}{3}}(2x+1) > \frac{1}{3} \implies 2x+1 < (\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}} \implies 2x < \frac{1}{\sqrt[3]{3}} - 1 \implies x < \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt[3]{3}} - 1)$.
6. Объединим решения с учетом ОДЗ ($x > -0,5$).
Первое решение $x > 4$ удовлетворяет ОДЗ.
Второе решение $x < \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt[3]{3}} - 1)$ с учетом ОДЗ дает интервал $-0,5 < x < \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt[3]{3}} - 1)$.
Общее решение является объединением этих двух множеств.
Ответ: $x \in (-0,5; \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt[3]{3}} - 1)) \cup (4; +\infty)$.

г) $\log_3^2 x + 3\log_3 9x - 24 < 0$
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Преобразуем логарифм произведения: $\log_3(9x) = \log_3 9 + \log_3 x = 2 + \log_3 x$.
Подставим в неравенство:
$\log_3^2 x + 3(2 + \log_3 x) - 24 < 0$
$\log_3^2 x + 6 + 3\log_3 x - 24 < 0$
$\log_3^2 x + 3\log_3 x - 18 < 0$.
3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_3 x$.
$t^2 + 3t - 18 < 0$.
4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $t^2 + 3t - 18 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = -6$ и $t_2 = 3$.
Парабола $y=t^2+3t-18$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями:
$-6 < t < 3$.
5. Вернемся к исходной переменной:
$-6 < \log_3 x < 3$.
6. Решим двойное логарифмическое неравенство. Основание логарифма $3 > 1$, поэтому знаки неравенства сохраняются:
$3^{-6} < x < 3^3$.
$ \frac{1}{3^6} < x < 27 $
$ \frac{1}{729} < x < 27 $.
Полученное решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x \in (\frac{1}{729}; 27)$.