Номер 18.25, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.25, страница 114.

18.25. а) $-\frac{1}{4} \log_{\frac{1}{\sqrt{7}}} (7x + 5) \ge \log_{49} (3x - 1);$

б) $3 \log_8 (2x - 1) - 2 \log_{0.25} (x + 2) \le 0.5 \log_{\sqrt{2}} 3;$

в) $\log_{\sqrt{5}} \sqrt{10 + x} + \log_{0.2} (2x - 4) > 0;$

г) $\frac{3}{2} \log_{7\sqrt{7}} (4x + 17) - \log_7 (25 - 5x) < \log_{\frac{1}{7}} 0.5.$

а) $-\frac{1}{4}\log_{\frac{1}{\sqrt{7}}}(7x+5) \ge \log_{49}(3x-1)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:

$7x + 5 > 0 \implies 7x > -5 \implies x > -\frac{5}{7}$
$3x - 1 > 0 \implies 3x > 1 \implies x > \frac{1}{3}$

Пересечением этих условий является $x > \frac{1}{3}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$.

2. Приведем все логарифмы к одному основанию, например, к основанию 7. Используем формулу перехода к новому основанию $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b$.

Преобразуем левую часть неравенства:
$-\frac{1}{4}\log_{\frac{1}{\sqrt{7}}}(7x+5) = -\frac{1}{4}\log_{7^{-1/2}}(7x+5) = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{-1/2} \log_7(7x+5) = -\frac{1}{4} \cdot (-2) \log_7(7x+5) = \frac{1}{2}\log_7(7x+5)$.

Преобразуем правую часть неравенства:
$\log_{49}(3x-1) = \log_{7^2}(3x-1) = \frac{1}{2}\log_7(3x-1)$.

3. Подставим преобразованные выражения в исходное неравенство:

$\frac{1}{2}\log_7(7x+5) \ge \frac{1}{2}\log_7(3x-1)$

Умножим обе части на 2:

$\log_7(7x+5) \ge \log_7(3x-1)$

4. Так как основание логарифма $7 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$7x+5 \ge 3x-1$

$4x \ge -6$

$x \ge -\frac{6}{4} \implies x \ge -1.5$

5. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x \ge -1.5 \\ x > \frac{1}{3} \end{cases}$

Общим решением является $x > \frac{1}{3}$.

Ответ: $(\frac{1}{3}; +\infty)$.

---

б) $3\log_8(2x-1) - 2\log_{0.25}(x+2) \le 0.5\log_{\sqrt{2}}(3)$

1. Найдем ОДЗ:

$2x - 1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > \frac{1}{2}$
$x + 2 > 0 \implies x > -2$

Пересечением является $x > \frac{1}{2}$. ОДЗ: $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.

2. Приведем все логарифмы к основанию 2:

$3\log_8(2x-1) = 3\log_{2^3}(2x-1) = 3 \cdot \frac{1}{3}\log_2(2x-1) = \log_2(2x-1)$.
$-2\log_{0.25}(x+2) = -2\log_{1/4}(x+2) = -2\log_{2^{-2}}(x+2) = -2 \cdot \frac{1}{-2}\log_2(x+2) = \log_2(x+2)$.
$0.5\log_{\sqrt{2}}(3) = \frac{1}{2}\log_{2^{1/2}}(3) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1/2}\log_2(3) = \log_2(3)$.

3. Подставим преобразованные выражения в неравенство:

$\log_2(2x-1) + \log_2(x+2) \le \log_2(3)$

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_2((2x-1)(x+2)) \le \log_2(3)$

4. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$(2x-1)(x+2) \le 3$

$2x^2 + 4x - x - 2 \le 3$

$2x^2 + 3x - 5 \le 0$

5. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$:

$D = 3^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

$x_{1,2} = \frac{-3 \pm 7}{4} \implies x_1 = \frac{4}{4} = 1, x_2 = \frac{-10}{4} = -2.5$

Парабола $y=2x^2+3x-5$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $-2.5 \le x \le 1$.

6. Учтем ОДЗ $x > \frac{1}{2}$:

$\begin{cases} -2.5 \le x \le 1 \\ x > 0.5 \end{cases}$

Общим решением является $0.5 < x \le 1$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; 1]$.

---

в) $\log_{\sqrt{5}}\sqrt{10+x} + \log_{0.2}(2x-4) > 0$

1. Найдем ОДЗ:

$\sqrt{10+x} > 0 \implies 10+x>0 \implies x > -10$
$2x - 4 > 0 \implies 2x > 4 \implies x > 2$

Пересечением является $x > 2$. ОДЗ: $x \in (2; +\infty)$.

2. Приведем логарифмы к основанию 5:

$\log_{\sqrt{5}}\sqrt{10+x} = \log_{5^{1/2}}(10+x)^{1/2} = \frac{1/2}{1/2}\log_5(10+x) = \log_5(10+x)$.
$\log_{0.2}(2x-4) = \log_{1/5}(2x-4) = \log_{5^{-1}}(2x-4) = -\log_5(2x-4)$.

3. Подставим в неравенство:

$\log_5(10+x) - \log_5(2x-4) > 0$

$\log_5(10+x) > \log_5(2x-4)$

4. Так как основание логарифма $5 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$10+x > 2x-4$

$14 > x$ или $x < 14$.

5. Учтем ОДЗ $x > 2$:

$\begin{cases} x < 14 \\ x > 2 \end{cases}$

Общим решением является $2 < x < 14$.

Ответ: $(2; 14)$.

---

г) $\frac{3}{2}\log_{7\sqrt{7}}(4x+17) - \log_7(25-5x) < \log_{\frac{1}{7}}0.5$

1. Найдем ОДЗ:

$4x + 17 > 0 \implies 4x > -17 \implies x > -\frac{17}{4}$
$25 - 5x > 0 \implies 25 > 5x \implies x < 5$

ОДЗ: $x \in (-\frac{17}{4}; 5)$.

2. Приведем все логарифмы к основанию 7:

$\frac{3}{2}\log_{7\sqrt{7}}(4x+17) = \frac{3}{2}\log_{7^{3/2}}(4x+17) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3/2}\log_7(4x+17) = \log_7(4x+17)$.
$\log_{\frac{1}{7}}0.5 = \log_{7^{-1}}(0.5) = -\log_7(0.5) = \log_7(0.5^{-1}) = \log_7(2)$.

3. Подставим в неравенство:

$\log_7(4x+17) - \log_7(25-5x) < \log_7(2)$

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:

$\log_7\left(\frac{4x+17}{25-5x}\right) < \log_7(2)$

4. Так как основание логарифма $7 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$\frac{4x+17}{25-5x} < 2$

5. Решим рациональное неравенство:

$\frac{4x+17}{25-5x} - 2 < 0$

$\frac{4x+17 - 2(25-5x)}{25-5x} < 0$

$\frac{4x+17 - 50 + 10x}{25-5x} < 0$

$\frac{14x-33}{25-5x} < 0$

Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$14x-33=0 \implies x=\frac{33}{14}$

$25-5x=0 \implies x=5$

На числовой прямой отмечаем точки $x=\frac{33}{14}$ и $x=5$. Они разбивают прямую на интервалы $(-\infty; \frac{33}{14})$, $(\frac{33}{14}; 5)$, $(5; +\infty)$.

Проверим знак выражения $\frac{14x-33}{25-5x}$ в каждом интервале:

При $x > 5$ (например, $x=6$): $\frac{14 \cdot 6 - 33}{25 - 5 \cdot 6} = \frac{+}{-} < 0$. Интервал $(5; +\infty)$ является решением.

При $\frac{33}{14} < x < 5$ (например, $x=3$): $\frac{14 \cdot 3 - 33}{25 - 5 \cdot 3} = \frac{+}{+} > 0$. Не является решением.

При $x < \frac{33}{14}$ (например, $x=0$): $\frac{-33}{25} < 0$. Интервал $(-\infty; \frac{33}{14})$ является решением.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty; \frac{33}{14}) \cup (5; +\infty)$.

6. Учтем ОДЗ $x \in (-\frac{17}{4}; 5)$:

$\begin{cases} x \in (-\infty; \frac{33}{14}) \cup (5; +\infty) \\ -\frac{17}{4} < x < 5 \end{cases}$

Пересечение этих множеств дает интервал $(-\frac{17}{4}; \frac{33}{14})$.

Ответ: $(-\frac{17}{4}; \frac{33}{14})$.