Номер 18.27, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.27, страница 115.

Найдите наибольшее целое решение неравенства:

18.27. a) $2 \log_5 (\sqrt{12 - x} + 1) > \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{15 - x}$;

б) $2 \log_{0.5} \sqrt{2x + 1} - \log_{0.5}(4 - x) < \log_2 3^{\frac{1}{2}} - \log_4 2$.

а)

Дано неравенство $2 \log_{5} (\sqrt{12 - x} + 1) > \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{15 - x}$.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а аргументы логарифмов — строго положительными.

$\begin{cases} 12 - x \ge 0 \\ \sqrt{12 - x} + 1 > 0 \\ \frac{1}{15 - x} > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \le 12$.

Второе неравенство $\sqrt{12 - x} \ge 0 \implies \sqrt{12 - x} + 1 \ge 1$, так что оно выполняется для всех $x$ из области определения корня.

Третье неравенство $\frac{1}{15 - x} > 0$ выполняется, когда $15 - x > 0$, то есть $x < 15$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \le 12$.

2. Преобразуем правую часть неравенства, используя формулу перехода к новому основанию и свойства логарифмов: $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$ и $\log_a \frac{1}{c} = -\log_a c$.

$\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{15 - x} = \log_{5^{-1}} (15 - x)^{-1} = \frac{-1}{-1} \log_5(15 - x) = \log_5(15 - x)$.

3. Преобразуем левую часть, используя свойство $k \log_a b = \log_a b^k$:

$2 \log_{5} (\sqrt{12 - x} + 1) = \log_{5} \left((\sqrt{12 - x} + 1)^2\right)$.

4. Неравенство принимает вид:

$\log_{5} \left((\sqrt{12 - x} + 1)^2\right) > \log_5(15 - x)$.

Поскольку основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, мы можем убрать логарифмы, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{12 - x} + 1)^2 > 15 - x$.

5. Решим полученное иррациональное неравенство, раскрыв скобки:

$(\sqrt{12 - x})^2 + 2\sqrt{12 - x} \cdot 1 + 1^2 > 15 - x$

$12 - x + 2\sqrt{12 - x} + 1 > 15 - x$

$13 - x + 2\sqrt{12 - x} > 15 - x$

$2\sqrt{12 - x} > 15 - x - 13 + x$

$2\sqrt{12 - x} > 2$

$\sqrt{12 - x} > 1$.

Так как обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат:

$12 - x > 1^2$

$12 - x > 1$

$11 > x$, или $x < 11$.

6. Учтем ОДЗ ($x \le 12$). Пересечение решения $x < 11$ и ОДЗ дает итоговое решение неравенства: $x < 11$.

Наибольшее целое число, удовлетворяющее условию $x < 11$, — это 10.

Ответ: 10

б)

Дано неравенство $2 \log_{0.5} \sqrt{2x + 1} - \log_{0.5} (4 - x) < \log_2 32^{\frac{1}{2} - \log_4 2}$.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

$\begin{cases} \sqrt{2x + 1} > 0 \\ 4 - x > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства следует $2x + 1 > 0$, откуда $x > -1/2$.

Из второго неравенства получаем $x < 4$.

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-1/2, 4)$.

2. Упростим правую часть неравенства. Сначала вычислим показатель степени:

$\log_4 2 = \log_{2^2} 2 = \frac{1}{2}\log_2 2 = \frac{1}{2}$.

Показатель степени равен $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.

Тогда правая часть: $\log_2 32^0 = \log_2 1 = 0$.

3. Неравенство принимает вид:

$2 \log_{0.5} \sqrt{2x + 1} - \log_{0.5} (4 - x) < 0$.

4. Преобразуем левую часть, используя свойства логарифмов $k \log_a b = \log_a b^k$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$\log_{0.5} ((\sqrt{2x + 1})^2) - \log_{0.5} (4 - x) < 0$

$\log_{0.5} (2x + 1) - \log_{0.5} (4 - x) < 0$

$\log_{0.5} \frac{2x + 1}{4 - x} < 0$.

5. Представим 0 в виде логарифма с основанием 0.5: $0 = \log_{0.5} 1$.

$\log_{0.5} \frac{2x + 1}{4 - x} < \log_{0.5} 1$.

Поскольку основание логарифма $0.5 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак меняется на противоположный:

$\frac{2x + 1}{4 - x} > 1$.

6. Решим полученное дробно-рациональное неравенство:

$\frac{2x + 1}{4 - x} - 1 > 0$

$\frac{2x + 1 - (4 - x)}{4 - x} > 0$

$\frac{3x - 3}{4 - x} > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x = 1$ и $x = 4$. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы. Проверяя знаки на интервалах, находим, что неравенство выполняется при $x \in (1, 4)$.

7. Учтем ОДЗ ($x \in (-1/2, 4)$). Пересечение решения $x \in (1, 4)$ и ОДЗ дает итоговое решение неравенства: $x \in (1, 4)$.

Целые числа, принадлежащие интервалу $(1, 4)$, — это 2 и 3. Наибольшим из них является 3.

Ответ: 3