Номер 18.32, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.32, страница 115.

18.32. a) $\log_{x-2} (2x-3) > \log_{x-2} (24-6x);$

б) $\log_{2x-1} (3x-5) < \log_{2x-1} (15-7x).$

a) $\log_{x-2}(2x-3) > \log_{x-2}(24-6x)$

Решение логарифмического неравенства с переменным основанием сводится к рассмотрению двух случаев, в зависимости от значения основания. Но сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ определяется системой неравенств:

$\begin{cases} 2x-3 > 0 \\ 24-6x > 0 \\ x-2 > 0 \\ x-2 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1.5 \\ x < 4 \\ x > 2 \\ x \neq 3 \end{cases}$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in (2, 3) \cup (3, 4)$.

Теперь рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1.

$x-2 > 1 \implies x > 3$.

С учетом ОДЗ, этот случай рассматривается на интервале $x \in (3, 4)$.

Если основание логарифма больше 1, то логарифмическая функция возрастает, и знак неравенства для аргументов сохраняется:

$2x - 3 > 24 - 6x$

$8x > 27$

$x > \frac{27}{8}$ или $x > 3.375$.

Находим пересечение этого решения с интервалом $(3, 4)$: $x \in (3.375, 4)$ или $x \in (\frac{27}{8}, 4)$.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1.

$0 < x-2 < 1 \implies 2 < x < 3$.

Этот интервал полностью соответствует ОДЗ.

Если основание логарифма от 0 до 1, то логарифмическая функция убывает, и знак неравенства для аргументов меняется на противоположный:

$2x - 3 < 24 - 6x$

$8x < 27$

$x < \frac{27}{8}$ или $x < 3.375$.

Находим пересечение этого решения с интервалом $(2, 3)$: $x \in (2, 3)$.

Общее решение неравенства является объединением решений, полученных в обоих случаях.

Ответ: $x \in (2, 3) \cup (\frac{27}{8}, 4)$.

б) $\log_{2x-1}(3x-5) < \log_{2x-1}(15-7x)$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства.

$\begin{cases} 3x-5 > 0 \\ 15-7x > 0 \\ 2x-1 > 0 \\ 2x-1 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{5}{3} \\ x < \frac{15}{7} \\ x > \frac{1}{2} \\ x \neq 1 \end{cases}$

Так как $\frac{5}{3} \approx 1.67$ и $\frac{15}{7} \approx 2.14$, пересечение этих условий дает нам ОДЗ: $x \in (\frac{5}{3}, \frac{15}{7})$.

Рассмотрим два случая в зависимости от значения основания $2x-1$.

Случай 1: Основание больше 1.

$2x-1 > 1 \implies 2x > 2 \implies x > 1$.

Пересекаем это условие с ОДЗ: $x \in (\frac{5}{3}, \frac{15}{7})$. Так как $\frac{5}{3} > 1$, то интервал рассмотрения совпадает с ОДЗ.

При основании больше 1 знак неравенства сохраняется:

$3x-5 < 15-7x$

$10x < 20$

$x < 2$.

Найдем пересечение решения $x < 2$ с интервалом ОДЗ $(\frac{5}{3}, \frac{15}{7})$.

Так как $2 < \frac{15}{7}$ (поскольку $14 < 15$), то решением будет интервал $x \in (\frac{5}{3}, 2)$.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1.

$0 < 2x-1 < 1 \implies 1/2 < x < 1$.

Этот интервал не имеет общих точек с ОДЗ $x \in (\frac{5}{3}, \frac{15}{7})$, так как $1 < \frac{5}{3}$.

Следовательно, в этом случае решений нет.

Итоговое решение — это решение, полученное в первом случае.

Ответ: $x \in (\frac{5}{3}, 2)$.