Номер 18.38, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.38, страница 115.

18.38. a) $\log_9 x^2 + \log_3^2(-x) < 2$;

б) $\log_4 x^2 + \log_2^2(-x) > 6$.

а)

Решим неравенство $\log_9 x^2 + \log_3^2(-x) < 2$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x^2 > 0 \\ -x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \neq 0 \\ x < 0 \end{cases} \Rightarrow x < 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0)$.

2. Преобразуем левую часть неравенства. Используем свойства логарифмов:

$\log_9 x^2 = \log_{3^2} x^2 = \frac{1}{2} \log_3 x^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \log_3|x| = \log_3|x|$.

Так как из ОДЗ следует, что $x < 0$, то $|x| = -x$. Следовательно, $\log_9 x^2 = \log_3(-x)$.

Выражение $\log_3^2(-x)$ означает $(\log_3(-x))^2$.

Неравенство принимает вид:

$\log_3(-x) + (\log_3(-x))^2 < 2$.

3. Введем замену переменной. Пусть $t = \log_3(-x)$. Неравенство превращается в квадратное:

$t + t^2 < 2$

$t^2 + t - 2 < 0$.

4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $t^2 + t - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = -2$ и $t_2 = 1$.

Парабола $y = t^2 + t - 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями:

$-2 < t < 1$.

5. Вернемся к исходной переменной:

$-2 < \log_3(-x) < 1$.

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \log_3(-x) > -2 \\ \log_3(-x) < 1 \end{cases}$

Решим каждое неравенство, учитывая, что функция $y=\log_3(u)$ возрастающая:

$\log_3(-x) > \log_3(3^{-2}) \Rightarrow -x > \frac{1}{9} \Rightarrow x < -\frac{1}{9}$.

$\log_3(-x) < \log_3(3^1) \Rightarrow -x < 3 \Rightarrow x > -3$.

6. Объединим полученные результаты и учтем ОДЗ ($x < 0$):

$\begin{cases} x < -1/9 \\ x > -3 \\ x < 0 \end{cases}$

Пересечением этих интервалов является $(-3; -1/9)$.

Ответ: $x \in (-3; -1/9)$.

б)

Решим неравенство $\log_4 x^2 + \log_2^2(-x) > 6$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ) такая же, как в предыдущем пункте:

$\begin{cases} x^2 > 0 \\ -x > 0 \end{cases} \Rightarrow x < 0$.

ОДЗ: $x \in (-\infty; 0)$.

2. Преобразуем левую часть неравенства:

$\log_4 x^2 = \log_{2^2} x^2 = \frac{1}{2} \log_2 x^2 = \log_2|x|$.

С учетом ОДЗ ($x<0$), имеем $|x| = -x$, поэтому $\log_4 x^2 = \log_2(-x)$.

Неравенство принимает вид:

$\log_2(-x) + (\log_2(-x))^2 > 6$.

3. Введем замену переменной. Пусть $y = \log_2(-x)$. Получим квадратное неравенство:

$y + y^2 > 6$

$y^2 + y - 6 > 0$.

4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $y^2 + y - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $y_1 = -3$ и $y_2 = 2$.

Парабола $z = y^2 + y - 6$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями:

$y < -3$ или $y > 2$.

5. Вернемся к исходной переменной. Получаем совокупность двух неравенств:

$\begin{bmatrix} \log_2(-x) < -3 \\ \log_2(-x) > 2 \end{bmatrix}$

Решим каждое неравенство, учитывая, что функция $y=\log_2(u)$ возрастающая:

$\log_2(-x) < \log_2(2^{-3}) \Rightarrow -x < \frac{1}{8} \Rightarrow x > -\frac{1}{8}$.

$\log_2(-x) > \log_2(2^2) \Rightarrow -x > 4 \Rightarrow x < -4$.

6. Учтем ОДЗ ($x < 0$) для каждого случая:

Для $x > -1/8$: пересекая с $x < 0$, получаем $-1/8 < x < 0$.

Для $x < -4$: это решение уже удовлетворяет условию $x < 0$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-1/8; 0)$.