Номер 18.40, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.40, страница 116.

Решите систему неравенств:

18.40. a) $$\begin{cases} \log_{0.2} (2x + 3) < \log_{0.2} (x - 2), \\ \log_6 (3x - 1) \le \log_6 (9x + 4); \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} \log_7 (6x - 1) \le \log_7 (9x + 11), \\ \log_{0.5} (3 - x) < \log_{0.5} (4x - 1). \end{cases}$$

а)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \log_{0,2}(2x + 3) < \log_{0,2}(x - 2), \\ \log_{6}(3x - 1) \le \log_{6}(9x + 4); \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $\log_{0,2}(2x + 3) < \log_{0,2}(x - 2)$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 2x + 3 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x > -3 \\ x > 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1,5 \\ x > 2 \end{cases}$

Общей областью является $x > 2$.

Так как основание логарифма $0,2$ находится в интервале $(0; 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$2x + 3 > x - 2$

$2x - x > -2 - 3$

$x > -5$

Пересекая полученное решение с ОДЗ ($x > 2$), получаем, что решение первого неравенства - $x \in (2; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\log_{6}(3x - 1) \le \log_{6}(9x + 4)$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ 9x + 4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x > 1 \\ 9x > -4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1/3 \\ x > -4/9 \end{cases}$

Общей областью является $x > 1/3$.

Так как основание логарифма $6$ больше 1, логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:

$3x - 1 \le 9x + 4$

$-1 - 4 \le 9x - 3x$

$-5 \le 6x$

$x \ge -5/6$

Пересекая полученное решение с ОДЗ ($x > 1/3$), получаем, что решение второго неравенства - $x \in (1/3; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств системы:

Решение первого неравенства: $x \in (2; +\infty)$.

Решение второго неравенства: $x \in (1/3; +\infty)$.

Пересечением этих двух множеств является интервал $(2; +\infty)$.

Ответ: $(2; +\infty)$.

б)

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \log_{7}(6x - 1) \le \log_{7}(9x + 11), \\ \log_{0,5}(3 - x) < \log_{0,5}(4x - 1). \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $\log_{7}(6x - 1) \le \log_{7}(9x + 11)$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 6x - 1 > 0 \\ 9x + 11 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6x > 1 \\ 9x > -11 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1/6 \\ x > -11/9 \end{cases}$

Общей областью является $x > 1/6$.

Основание логарифма $7$ больше 1, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:

$6x - 1 \le 9x + 11$

$-1 - 11 \le 9x - 6x$

$-12 \le 3x$

$x \ge -4$

Учитывая ОДЗ ($x > 1/6$), решение первого неравенства: $x \in (1/6; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\log_{0,5}(3 - x) < \log_{0,5}(4x - 1)$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3 - x > 0 \\ 4x - 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 3 \\ 4x > 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 3 \\ x > 1/4 \end{cases}$

Общей областью является $1/4 < x < 3$.

Основание логарифма $0,5$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный:

$3 - x > 4x - 1$

$3 + 1 > 4x + x$

$4 > 5x$

$x < 4/5$

Учитывая ОДЗ ($1/4 < x < 3$), получаем решение второго неравенства: $x \in (1/4; 4/5)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств системы:

Решение первого неравенства: $x \in (1/6; +\infty)$.

Решение второго неравенства: $x \in (1/4; 4/5)$.

Так как $1/4 > 1/6$, пересечением интервалов $(1/6; +\infty)$ и $(1/4; 4/5)$ является интервал $(1/4; 4/5)$.

Ответ: $(1/4; 4/5)$.