Номер 18.44, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.44, страница 116.

18.44. a) $(4x^2 - 16x + 7) \log_2(x - 3) > 0;$

б) $\frac{\log_{0,3}(x - 1)}{\sqrt{5x - x^2}} \le 0.$

а) $(4x^2 - 16x + 7)\log_2(x - 3) > 0$

Решим данное неравенство методом интервалов.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$x - 3 > 0 \implies x > 3$.
ОДЗ: $x \in (3, +\infty)$.

2. Найдем нули каждого множителя в левой части неравенства.
а) $4x^2 - 16x + 7 = 0$.
Дискриминант $D = (-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 256 - 112 = 144 = 12^2$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{16 \pm 12}{2 \cdot 4} = \frac{16 \pm 12}{8}$.
$x_1 = \frac{16 - 12}{8} = \frac{4}{8} = 0.5$. Этот корень не входит в ОДЗ.
$x_2 = \frac{16 + 12}{8} = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} = 3.5$. Этот корень входит в ОДЗ.

б) $\log_2(x - 3) = 0$.
$x - 3 = 2^0$
$x - 3 = 1$
$x = 4$. Этот корень входит в ОДЗ.

3. Нанесем на числовую ось ОДЗ и найденные нули ($3.5$ и $4$) и определим знаки произведения на полученных интервалах.

Интервалы для проверки: $(3, 3.5)$, $(3.5, 4)$, $(4, +\infty)$.

• При $x \in (4, +\infty)$, например $x=5$:
  $(4 \cdot 5^2 - 16 \cdot 5 + 7) \log_2(5-3) = (100 - 80 + 7) \log_2(2) = 27 \cdot 1 = 27 > 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (3.5, 4)$, например $x=3.6$:
  Парабола $y=4x^2-16x+7$ ветвями вверх, поэтому на интервале $(0.5, 3.5)$ она отрицательна, а при $x > 3.5$ — положительна. Значит, $4x^2-16x+7 > 0$.
  $\log_2(x-3)$ при $3.5 < x < 4$ дает $0.5 < x-3 < 1$, поэтому $\log_2(x-3) < 0$.
  Произведение $(+) \cdot (-) = (-)$. Интервал не подходит.
• При $x \in (3, 3.5)$, например $x=3.1$:
  $4x^2-16x+7 < 0$ (т.к. $x < 3.5$).
  $\log_2(x-3)$ при $3 < x < 3.5$ дает $0 < x-3 < 0.5$, поэтому $\log_2(x-3) < 0$.
  Произведение $(-) \cdot (-) = (+)$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение $x \in (3, 3.5) \cup (4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (3; 3.5) \cup (4; +\infty)$.

б) $\frac{\log_{0.3}(x - 1)}{\sqrt{5x - x^2}} \le 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Система неравенств:
$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ 5x - x^2 > 0 \end{cases}$
Из первого неравенства: $x > 1$.
Из второго неравенства: $x(5 - x) > 0$. Корни $x=0$ и $x=5$. Парабола ветвями вниз, значит решение $x \in (0, 5)$.
Пересечение решений: $x \in (1, 5)$.
ОДЗ: $x \in (1, 5)$.

2. Решим неравенство.
На всей области допустимых значений знаменатель $\sqrt{5x - x^2}$ строго положителен. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} \log_{0.3}(x - 1) \le 0 \\ x \in (1, 5) \end{cases}$

Решим логарифмическое неравенство:
$\log_{0.3}(x - 1) \le 0$
Представим $0$ как логарифм по основанию $0.3$: $0 = \log_{0.3}(1)$.
$\log_{0.3}(x - 1) \le \log_{0.3}(1)$
Так как основание логарифма $0.3$ меньше 1 ($0 < 0.3 < 1$), логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$x - 1 \ge 1$
$x \ge 2$

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ.
$\begin{cases} x \ge 2 \\ x \in (1, 5) \end{cases}$
Пересечением является полуинтервал $[2, 5)$.

Ответ: $x \in [2; 5)$.