Номер 18.50, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.50, страница 117.

Решите неравенство:

18.50. $
\frac{\log_4(2 - x) - \log_{14}(2 - x)}{\log_{14} x - \log_{49} x} \leq \frac{\log_9 49}{\log_{27} 8}$

Для решения неравенства сначала найдем его область допустимых значений (ОДЗ).

Определение области допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго положительными:$2 - x > 0 \implies x < 2$$x > 0$Знаменатели дробей не должны равняться нулю. Для знаменателя левой части: $\log_{14}x - \log_{49}x \ne 0$. Это выражение равно нулю только при $x=1$, так как основания $14$ и $49$ различны. Следовательно, $x \ne 1$. Знаменатель правой части $\log_{27} 8$ не равен нулю, так как $8 \ne 1$.Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, 2)$.

Упрощение неравенства. Преобразуем обе части неравенства. Начнем с правой части, используя свойства логарифмов:

$\frac{\log_9 49}{\log_{27} 8} = \frac{\log_{3^2} 7^2}{\log_{3^3} 2^3} = \frac{\frac{2}{2} \log_3 7}{\frac{3}{3} \log_3 2} = \frac{\log_3 7}{\log_3 2} = \log_2 7$.

Теперь преобразуем левую часть, применив формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}$:

$\frac{\log_4(2 - x) - \log_{14}(2 - x)}{\log_{14}x - \log_{49}x} = \frac{\frac{\ln(2-x)}{\ln 4} - \frac{\ln(2-x)}{\ln 14}}{\frac{\ln x}{\ln 14} - \frac{\ln x}{\ln 49}} = \frac{\ln(2-x) \left(\frac{1}{\ln 4} - \frac{1}{\ln 14}\right)}{\ln x \left(\frac{1}{\ln 14} - \frac{1}{\ln 49}\right)}$

Упростим выражения в скобках:

$\frac{1}{\ln 4} - \frac{1}{\ln 14} = \frac{\ln 14 - \ln 4}{\ln 4 \cdot \ln 14} = \frac{\ln(14/4)}{\ln 4 \cdot \ln 14} = \frac{\ln(3.5)}{\ln 4 \cdot \ln 14}$

$\frac{1}{\ln 14} - \frac{1}{\ln 49} = \frac{\ln 49 - \ln 14}{\ln 14 \cdot \ln 49} = \frac{\ln(49/14)}{\ln 14 \cdot \ln 49} = \frac{\ln(3.5)}{\ln 14 \cdot \ln 49}$

Подставим это обратно в левую часть:

$\frac{\ln(2-x) \frac{\ln(3.5)}{\ln 4 \cdot \ln 14}}{\ln x \frac{\ln(3.5)}{\ln 14 \cdot \ln 49}} = \frac{\ln(2-x)}{\ln x} \cdot \frac{\ln 14 \cdot \ln 49}{\ln 4 \cdot \ln 14} = \frac{\ln(2-x)}{\ln x} \cdot \frac{\ln 49}{\ln 4}$

Заметим, что $\frac{\ln 49}{\ln 4} = \frac{\ln 7^2}{\ln 2^2} = \frac{2\ln 7}{2\ln 2} = \frac{\ln 7}{\ln 2} = \log_2 7$.Также, $\frac{\ln(2-x)}{\ln x} = \log_x(2-x)$.Следовательно, левая часть равна $\log_x(2-x) \cdot \log_2 7$.

Решение упрощенного неравенства. Исходное неравенство можно переписать в виде:

$\log_x(2-x) \cdot \log_2 7 \le \log_2 7$

Поскольку $\log_2 7 > 0$, мы можем разделить обе части на $\log_2 7$, сохранив знак неравенства:

$\log_x(2-x) \le 1$

Представим $1$ как $\log_x x$:

$\log_x(2-x) \le \log_x x$

Для решения этого неравенства рассмотрим два случая, определяемых основанием логарифма $x$ в рамках ОДЗ.

Случай 1: $0 < x < 1$. В этом случае основание логарифма меньше 1, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При потенцировании знак неравенства меняется на противоположный:$2 - x \ge x \implies 2 \ge 2x \implies 1 \ge x$.Учитывая условие $0 < x < 1$, решением в этом случае является интервал $(0, 1)$.

Случай 2: $1 < x < 2$. В этом случае основание логарифма больше 1, и логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:$2 - x \le x \implies 2 \le 2x \implies 1 \le x$.Учитывая условие $1 < x < 2$, решением в этом случае является интервал $(1, 2)$.

Объединяя решения из обоих случаев, мы получаем окончательное решение, которое совпадает с ОДЗ.

Ответ: $x \in (0, 1) \cup (1, 2)$.