Номер 19.3, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.3, страница 118.

Найдите производную функции:

19.3. а) $f(x) = x^3e^x$;

б) $f(x) = \frac{e^x}{x}$;

в) $f(x) = x^2e^x$;

г) $f(x) = \frac{e^x}{x^3}$.

а) Для нахождения производной функции $f(x) = x^3e^x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^3$ и $v(x) = e^x$.

Тогда их производные равны: $u'(x) = (x^3)' = 3x^2$ и $v'(x) = (e^x)' = e^x$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$f'(x) = (x^3)'e^x + x^3(e^x)' = 3x^2e^x + x^3e^x$.

Вынесем общий множитель $x^2e^x$ за скобки:

$f'(x) = x^2e^x(3 + x)$.

Ответ: $f'(x) = x^2e^x(x+3)$.

б) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{e^x}{x}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного двух функций: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = x$.

Тогда их производные равны: $u'(x) = (e^x)' = e^x$ и $v'(x) = (x)' = 1$.

Подставляем в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{(e^x)' \cdot x - e^x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2}$.

Вынесем общий множитель $e^x$ в числителе за скобки:

$f'(x) = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$.

в) Для нахождения производной функции $f(x) = x^2e^x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = e^x$.

Тогда их производные равны: $u'(x) = (x^2)' = 2x$ и $v'(x) = (e^x)' = e^x$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$f'(x) = (x^2)'e^x + x^2(e^x)' = 2xe^x + x^2e^x$.

Вынесем общий множитель $xe^x$ за скобки:

$f'(x) = xe^x(2 + x)$.

Ответ: $f'(x) = xe^x(x+2)$.

г) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{e^x}{x^3}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного двух функций: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = x^3$.

Тогда их производные равны: $u'(x) = (e^x)' = e^x$ и $v'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

Подставляем в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{(e^x)' \cdot x^3 - e^x \cdot (x^3)'}{(x^3)^2} = \frac{e^x \cdot x^3 - e^x \cdot 3x^2}{x^6}$.

Вынесем общий множитель $e^x x^2$ в числителе за скобки и сократим дробь:

$f'(x) = \frac{x^2e^x(x-3)}{x^6} = \frac{e^x(x-3)}{x^4}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{e^x(x-3)}{x^4}$.