Номер 18.49, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.49, страница 117.

18.49. Сколько целых чисел содержится в решении неравенства

$\frac{\sqrt{5 + 4\log_2 x - \log_2^2 x}}{\log_2 32x^2} \le \frac{\sqrt{\log_2 32x^4 - \log_2^2 x}}{4 - \log_{0,5} x^3}$

Для решения данного неравенства сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

1. Аргументы логарифмов должны быть положительными, следовательно, $x > 0$.

2. Выражения, находящиеся под знаком квадратного корня, должны быть неотрицательными:

$5 + 4\log_2 x - \log_2^2 x \ge 0$

$\log_2 32x^4 - \log_2^2 x \ge 0$

3. Знаменатели дробей не должны равняться нулю:

$\log_2 32x^2 \ne 0$

$4 - \log_{0.5} x^3 \ne 0$

Для удобства введем замену $t = \log_2 x$. Теперь перепишем условия ОДЗ в терминах переменной $t$:

1. Из $5 + 4t - t^2 \ge 0$, умножив на $-1$, получим $t^2 - 4t - 5 \le 0$. Корни квадратного трехчлена $t^2 - 4t - 5 = 0$ — это $t_1 = -1$ и $t_2 = 5$. Следовательно, решением этого неравенства является отрезок $t \in [-1, 5]$.

2. Преобразуем второе подкоренное выражение: $\log_2 32x^4 - \log_2^2 x = \log_2 32 + \log_2 x^4 - (\log_2 x)^2 = 5 + 4\log_2 x - (\log_2 x)^2 = 5 + 4t - t^2$. Таким образом, второе условие $5 + 4t - t^2 \ge 0$ совпадает с первым.

3. Преобразуем знаменатели:

$\log_2 32x^2 = \log_2 32 + \log_2 x^2 = 5 + 2\log_2 x = 5 + 2t$. Условие $5 + 2t \ne 0$ дает $t \ne -2.5$.

$4 - \log_{0.5} x^3 = 4 - \frac{\log_2 x^3}{\log_2 0.5} = 4 - \frac{3\log_2 x}{-1} = 4 + 3\log_2 x = 4 + 3t$. Условие $4 + 3t \ne 0$ дает $t \ne -4/3$.

Объединяя все условия для $t$, получаем, что $t$ должен принадлежать отрезку $[-1, 5]$. Условия $t \ne -2.5$ и $t \ne -4/3 \approx -1.33$ выполняются автоматически, так как эти значения не входят в данный отрезок. Таким образом, ОДЗ для $t$ есть $t \in [-1, 5]$.

Теперь преобразуем исходное неравенство, используя замену и упрощенные выражения:

$$ \frac{\sqrt{5 + 4t - t^2}}{5 + 2t} \le \frac{\sqrt{5 + 4t - t^2}}{4 + 3t} $$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$$ \sqrt{5 + 4t - t^2} \left( \frac{1}{5 + 2t} - \frac{1}{4 + 3t} \right) \le 0 $$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$$ \sqrt{5 + 4t - t^2} \left( \frac{(4 + 3t) - (5 + 2t)}{(5 + 2t)(4 + 3t)} \right) \le 0 $$

$$ \sqrt{5 + 4t - t^2} \cdot \frac{t - 1}{(5 + 2t)(4 + 3t)} \le 0 $$

Данное неравенство выполняется в двух случаях:

1. Когда множитель с корнем равен нулю: $\sqrt{5 + 4t - t^2} = 0$. Это происходит при $t = -1$ и $t = 5$. Оба эти значения входят в ОДЗ, поэтому являются решениями.

2. Когда множитель с корнем строго больше нуля, а второй множитель меньше или равен нулю. Условие $\sqrt{5 + 4t - t^2} > 0$ выполняется для $t \in (-1, 5)$. Для этих значений $t$ неравенство сводится к следующему:

$$ \frac{t - 1}{(5 + 2t)(4 + 3t)} \le 0 $$

На интервале $t \in (-1, 5)$ оба выражения в знаменателе, $5 + 2t$ и $4 + 3t$, являются положительными. Например, при $t=-1$ они равны $3$ и $1$ соответственно, а так как это возрастающие линейные функции, они остаются положительными на всем интервале. Следовательно, знаменатель $(5 + 2t)(4 + 3t)$ положителен. Тогда неравенство упрощается до $t - 1 \le 0$, откуда $t \le 1$.

Пересекая полученное решение $t \le 1$ с условием $t \in (-1, 5)$, получаем $t \in (-1, 1]$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем общее решение для $t$: $t \in \{-1, 5\} \cup (-1, 1]$, что равносильно $t \in [-1, 1] \cup \{5\}$.

Теперь выполним обратную замену $x = 2^t$.

Если $t \in [-1, 1]$, то $x \in [2^{-1}, 2^1]$, то есть $x \in [0.5, 2]$.

Если $t = 5$, то $x = 2^5 = 32$.

Таким образом, множество решений исходного неравенства есть $x \in [0.5, 2] \cup \{32\}$.

Найдем целые числа, которые принадлежат этому множеству. Из интервала $[0.5, 2]$ целыми решениями являются числа $1$ и $2$. Также решением является число $32$.

Всего целых решений: 1, 2, 32. Их количество равно 3.

Ответ: 3.