Номер 18.43, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.43, страница 116.

Решите неравенство:

18.43. a) $(4x - 1) \log_2 x \ge 0;$
б) $(x + 2) \log_{1.5} (4 - x) \ge 0.$

а) Решим неравенство $(4x - 1) \log_2 x \ge 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x > 0$

Данное неравенство можно решить методом интервалов или рассмотрев знаки множителей. Произведение двух множителей является неотрицательным, если оба множителя имеют одинаковый знак (оба неотрицательны или оба неположительны).

Случай 1: Оба множителя неотрицательны.

Это соответствует системе неравенств:

$\begin{cases} 4x - 1 \ge 0 \\ \log_2 x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $4x - 1 \ge 0 \implies 4x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{4}$

2) $\log_2 x \ge 0 \implies \log_2 x \ge \log_2 1$. Так как основание логарифма $2 > 1$, то функция $y=\log_2 x$ возрастающая, и знак неравенства сохраняется: $x \ge 1$.

Пересечением решений $x \ge \frac{1}{4}$ и $x \ge 1$ является промежуток $[1, +\infty)$.

Случай 2: Оба множителя неположительны.

Это соответствует системе неравенств:

$\begin{cases} 4x - 1 \le 0 \\ \log_2 x \le 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $4x - 1 \le 0 \implies 4x \le 1 \implies x \le \frac{1}{4}$

2) $\log_2 x \le 0 \implies \log_2 x \le \log_2 1$. Знак неравенства сохраняется: $x \le 1$.

Пересечением решений $x \le \frac{1}{4}$ и $x \le 1$ является $x \le \frac{1}{4}$.

С учетом ОДЗ ($x > 0$), получаем решение для второго случая: $(0, \frac{1}{4}]$.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, находим итоговое решение неравенства.

Ответ: $x \in (0, \frac{1}{4}] \cup [1, +\infty)$.

---

б) Решим неравенство $(x + 2) \log_{1.5} (4 - x) \ge 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$4 - x > 0 \implies x < 4$

Произведение двух множителей неотрицательно, когда оба множителя имеют одинаковый знак. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Оба множителя неотрицательны.

Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ \log_{1.5} (4 - x) \ge 0 \end{cases}$

1) $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$

2) $\log_{1.5} (4 - x) \ge 0 \implies \log_{1.5} (4 - x) \ge \log_{1.5} 1$. Так как основание логарифма $1.5 > 1$, функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется: $4 - x \ge 1 \implies 3 \ge x \implies x \le 3$.

Пересечением решений $x \ge -2$ и $x \le 3$ является отрезок $[-2, 3]$. Этот промежуток полностью удовлетворяет ОДЗ ($x < 4$).

Случай 2: Оба множителя неположительны.

Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} x + 2 \le 0 \\ \log_{1.5} (4 - x) \le 0 \end{cases}$

1) $x + 2 \le 0 \implies x \le -2$

2) $\log_{1.5} (4 - x) \le 0 \implies \log_{1.5} (4 - x) \le \log_{1.5} 1$. Знак неравенства сохраняется: $4 - x \le 1 \implies 3 \le x \implies x \ge 3$.

Система $\begin{cases} x \le -2 \\ x \ge 3 \end{cases}$ не имеет решений, так как множества не пересекаются.

Таким образом, решением исходного неравенства является только решение, полученное в первом случае.

Ответ: $x \in [-2, 3]$.