Номер 18.41, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.41, страница 116.

18.41. a) $\begin{cases} \log_3 x^2 > \log_3 125 - \log_3 5, \\ \log_{0{,}2} (x - 1) < 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \log_{\frac{1}{2}} x^2 \geq \log_{\frac{1}{2}} 28 - \log_{\frac{1}{2}} 7, \\ \log_3 (4x - 1) > 0. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \log_3 x^2 > \log_3 125 - \log_3 5, \\ \log_{0,2} (x - 1) < 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \log_3 x^2 > \log_3 125 - \log_3 5 $.
Область допустимых значений (ОДЗ): $ x^2 > 0 $, что означает $ x \neq 0 $.
Используя свойство разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $, упростим правую часть:
$ \log_3 125 - \log_3 5 = \log_3 \frac{125}{5} = \log_3 25 $.
Неравенство принимает вид: $ \log_3 x^2 > \log_3 25 $.
Так как основание логарифма $ 3 > 1 $, функция является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для аргументов, сохранив знак:
$ x^2 > 25 $
$ x^2 - 25 > 0 $
$ (x-5)(x+5) > 0 $
Решением этого неравенства является $ x \in (-\infty; -5) \cup (5; \infty) $. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 0 $).

2. Решим второе неравенство: $ \log_{0,2} (x - 1) < 0 $.
ОДЗ: $ x - 1 > 0 $, что означает $ x > 1 $.
Представим 0 в виде логарифма с основанием 0,2: $ 0 = \log_{0,2} 1 $.
Неравенство принимает вид: $ \log_{0,2} (x - 1) < \log_{0,2} 1 $.
Так как основание логарифма $ 0 < 0,2 < 1 $, функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак меняется на противоположный:
$ x - 1 > 1 $
$ x > 2 $
Решением является $ x \in (2; \infty) $. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($ x > 1 $).

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:
$ \begin{cases} x \in (-\infty; -5) \cup (5; \infty) \\ x \in (2; \infty) \end{cases} $
Пересечением этих множеств является интервал $ (5; \infty) $.

Ответ: $ (5; \infty) $.

б) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \log_{\frac{1}{2}} x^2 \ge \log_{\frac{1}{2}} 28 - \log_{\frac{1}{2}} 7, \\ \log_3 (4x - 1) > 0. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $ \log_{\frac{1}{2}} x^2 \ge \log_{\frac{1}{2}} 28 - \log_{\frac{1}{2}} 7 $.
ОДЗ: $ x^2 > 0 $, что означает $ x \neq 0 $.
Упростим правую часть: $ \log_{\frac{1}{2}} 28 - \log_{\frac{1}{2}} 7 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{28}{7} = \log_{\frac{1}{2}} 4 $.
Неравенство принимает вид: $ \log_{\frac{1}{2}} x^2 \ge \log_{\frac{1}{2}} 4 $.
Так как основание логарифма $ 0 < \frac{1}{2} < 1 $, функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак меняется на противоположный:
$ x^2 \le 4 $
$ x^2 - 4 \le 0 $
$ (x-2)(x+2) \le 0 $
Решением этого неравенства является $ x \in [-2; 2] $.
Учитывая ОДЗ ($ x \neq 0 $), получаем решение первого неравенства: $ x \in [-2; 0) \cup (0; 2] $.

2. Решим второе неравенство: $ \log_3 (4x - 1) > 0 $.
ОДЗ: $ 4x - 1 > 0 $, что означает $ 4x > 1 $ или $ x > \frac{1}{4} $.
Представим 0 в виде логарифма с основанием 3: $ 0 = \log_3 1 $.
Неравенство принимает вид: $ \log_3 (4x - 1) > \log_3 1 $.
Так как основание логарифма $ 3 > 1 $, функция является возрастающей. Сохраняем знак неравенства:
$ 4x - 1 > 1 $
$ 4x > 2 $
$ x > \frac{1}{2} $
Решением является $ x \in (\frac{1}{2}; \infty) $. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($ x > \frac{1}{4} $).

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:
$ \begin{cases} x \in [-2; 0) \cup (0; 2] \\ x \in (\frac{1}{2}; \infty) \end{cases} $
Пересечением этих множеств является полуинтервал $ (\frac{1}{2}; 2] $.

Ответ: $ (\frac{1}{2}; 2] $.