Номер 18.51, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 18. Логарифмические неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 18.51, страница 117.

18.51. $\log_8 (x - 3)^2 \cdot \log_{16} (x - 5)^6 + \log_2 \frac{(x - 3)^3}{x - 5} - 3 > 0.$

Решим данное логарифмическое неравенство:

$$ \log_8 (x - 3)^2 \cdot \log_{16} (x - 5)^6 + \log_2 \frac{(x-3)^3}{x-5} - 3 > 0 $$

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Для существования логарифмов их аргументы должны быть строго положительными. Запишем систему неравенств:

$$ \begin{cases} (x-3)^2 > 0 \\ (x-5)^6 > 0 \\ \frac{(x-3)^3}{x-5} > 0 \end{cases} $$

Из первого неравенства следует, что $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.

Из второго неравенства следует, что $x-5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$.

Третье неравенство решим методом интервалов. Оно равносильно тому, что числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.

• Если $x-3 > 0$ и $x-5 > 0$, то есть $x > 3$ и $x > 5$, получаем $x > 5$.
• Если $x-3 < 0$ и $x-5 < 0$, то есть $x < 3$ и $x < 5$, получаем $x < 3$.

Объединяя эти два случая, получаем, что третье неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 3) \cup (5, \infty)$.

Эта область и является ОДЗ для всего неравенства, так как она уже исключает точки $x=3$ и $x=5$.

Итак, ОДЗ: $x \in (-\infty, 3) \cup (5, \infty)$.

2. Преобразование неравенства

Приведем все логарифмы к основанию 2, используя формулы перехода к новому основанию и свойства степеней: $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ и $\log_a b^{2n} = 2n \log_a |b|$.

$$ \log_8(x-3)^2 = \log_{2^3}(x-3)^2 = \frac{1}{3} \log_2(x-3)^2 = \frac{2}{3} \log_2|x-3| $$

$$ \log_{16}(x-5)^6 = \log_{2^4}(x-5)^6 = \frac{1}{4} \log_2(x-5)^6 = \frac{6}{4} \log_2|x-5| = \frac{3}{2} \log_2|x-5| $$

Подставим преобразования в исходное неравенство:

$$ \left(\frac{2}{3} \log_2|x-3|\right) \cdot \left(\frac{3}{2} \log_2|x-5|\right) + \log_2 \frac{(x-3)^3}{x-5} - 3 > 0 $$

$$ \log_2|x-3| \cdot \log_2|x-5| + \log_2 \frac{(x-3)^3}{x-5} - 3 > 0 $$

Рассмотрим два случая, на которые ОДЗ делит числовую прямую.

Случай 1: $x \in (5, \infty)$

В этом интервале $x-3 > 0$ и $x-5 > 0$, поэтому $|x-3| = x-3$ и $|x-5| = x-5$.

Логарифм дроби можно представить в виде разности логарифмов:

$$ \log_2 \frac{(x-3)^3}{x-5} = \log_2(x-3)^3 - \log_2(x-5) = 3\log_2(x-3) - \log_2(x-5) $$

Неравенство принимает вид:

$$ \log_2(x-3) \cdot \log_2(x-5) + 3\log_2(x-3) - \log_2(x-5) - 3 > 0 $$

Сгруппируем слагаемые и разложим на множители:

$$ \log_2(x-3)(\log_2(x-5) + 3) - 1(\log_2(x-5) + 3) > 0 $$

$$ (\log_2(x-3) - 1)(\log_2(x-5) + 3) > 0 $$

Это неравенство выполняется, если оба множителя имеют одинаковый знак.

a) Оба множителя больше нуля:

$$ \begin{cases} \log_2(x-3) > 1 \\ \log_2(x-5) > -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x-3 > 2^1 \\ x-5 > 2^{-3} \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5 \\ x > 5 + \frac{1}{8} \end{cases} \implies x > 5,125 $$

Интервал $(5,125; \infty)$ входит в рассматриваемый случай $x > 5$.

б) Оба множителя меньше нуля:

$$ \begin{cases} \log_2(x-3) < 1 \\ \log_2(x-5) < -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x-3 < 2 \\ x-5 < \frac{1}{8} \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5 \\ x < 5,125 \end{cases} \implies x < 5 $$

Это решение не пересекается с условием $x > 5$, поэтому здесь решений нет.

Решение для первого случая: $x \in (5,125; \infty)$.

Случай 2: $x \in (-\infty, 3)$

В этом интервале $x-3 < 0$ и $x-5 < 0$, поэтому $|x-3| = -(x-3) = 3-x$ и $|x-5| = -(x-5) = 5-x$.

Аргумент третьего логарифма преобразуется так: $\frac{(x-3)^3}{x-5} = \frac{-(3-x)^3}{-(5-x)} = \frac{(3-x)^3}{5-x}$. Так как $3-x > 0$ и $5-x > 0$, логарифм дроби можно разложить:

$$ \log_2 \frac{(3-x)^3}{5-x} = 3\log_2(3-x) - \log_2(5-x) $$

Неравенство принимает вид:

$$ \log_2(3-x) \cdot \log_2(5-x) + 3\log_2(3-x) - \log_2(5-x) - 3 > 0 $$

Разложение на множители аналогично первому случаю:

$$ (\log_2(3-x) - 1)(\log_2(5-x) + 3) > 0 $$

a) Оба множителя больше нуля:

$$ \begin{cases} \log_2(3-x) > 1 \\ \log_2(5-x) > -3 \end{cases} \implies \begin{cases} 3-x > 2 \\ 5-x > \frac{1}{8} \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1 \\ x < 5 - \frac{1}{8} \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1 \\ x < 4,875 \end{cases} \implies x < 1 $$

Интервал $(-\infty, 1)$ входит в рассматриваемый случай $x < 3$.

б) Оба множителя меньше нуля:

$$ \begin{cases} \log_2(3-x) < 1 \\ \log_2(5-x) < -3 \end{cases} \implies \begin{cases} 3-x < 2 \\ 5-x < \frac{1}{8} \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > 4,875 \end{cases} \implies x > 4,875 $$

Это решение не пересекается с условием $x < 3$, поэтому здесь решений нет.

Решение для второго случая: $x \in (-\infty, 1)$.

3. Объединение решений

Объединяем решения, полученные в обоих случаях:

$$ x \in (-\infty, 1) \cup (5,125; \infty) $$

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (5,125; +\infty)$.