Номер 19.5, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.5, страница 118.

Найдите значение производной заданной функции в указанной точке $x_0$:

19.5. а) $y = e^x + x^2, x_0 = 0;$

б) $y = e^x(x + 1), x_0 = -1;$

в) $y = e^x - x, x_0 = 1;$

г) $y = \frac{e^x}{x + 1}, x_0 = 0.$

а) Дана функция $y = e^x + x^2$ и точка $x_0 = 0$.
Для нахождения значения производной в точке, сначала необходимо найти саму производную функции. Используем правило дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$.
$y' = (e^x + x^2)' = (e^x)' + (x^2)'$.
Мы знаем, что производная показательной функции $(e^x)' = e^x$ и производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
Следовательно, $y' = e^x + 2x$.
Теперь подставим значение $x_0 = 0$ в полученное выражение для производной:
$y'(0) = e^0 + 2 \cdot 0 = 1 + 0 = 1$.
Ответ: 1.

б) Дана функция $y = e^x(x + 1)$ и точка $x_0 = -1$.
Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = x+1$.
Найдем производные этих функций: $u'(x) = (e^x)' = e^x$ и $v'(x) = (x+1)' = 1$.
Теперь применим формулу:
$y' = (e^x)'(x+1) + e^x(x+1)' = e^x(x+1) + e^x \cdot 1$.
Упростим выражение: $y' = e^x(x+1+1) = e^x(x+2)$.
Подставим значение $x_0 = -1$ в выражение для производной:
$y'(-1) = e^{-1}(-1+2) = e^{-1} \cdot 1 = \frac{1}{e}$.
Ответ: $\frac{1}{e}$.

в) Дана функция $y = e^x - x$ и точка $x_0 = 1$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования разности: $(u-v)' = u' - v'$.
$y' = (e^x - x)' = (e^x)' - (x)'$.
Производные составляющих функций: $(e^x)' = e^x$ и $(x)'=1$.
Таким образом, производная функции равна: $y' = e^x - 1$.
Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:
$y'(1) = e^1 - 1 = e - 1$.
Ответ: $e - 1$.

г) Дана функция $y = \frac{e^x}{x + 1}$ и точка $x_0 = 0$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = x+1$.
Найдем производные этих функций: $u'(x) = (e^x)' = e^x$ и $v'(x) = (x+1)' = 1$.
Применим формулу:
$y' = \frac{(e^x)'(x+1) - e^x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{e^x(x+1) - e^x \cdot 1}{(x+1)^2}$.
Упростим числитель: $y' = \frac{e^x(x+1-1)}{(x+1)^2} = \frac{xe^x}{(x+1)^2}$.
Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:
$y'(0) = \frac{0 \cdot e^0}{(0+1)^2} = \frac{0 \cdot 1}{1^2} = \frac{0}{1} = 0$.
Ответ: 0.