Номер 19.6, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.6, страница 118.

19.6. a) $y = e^{3x-1}$, $x_0 = \frac{1}{3}$;

б) $y = 3e^{6+x}$, $x_0 = -5$;

В) $y = e^{4-9x}$, $x_0 = \frac{4}{9}$;

Г) $y = e^{0.5x-3}$, $x_0 = 4$.

а)

Дана функция $y = e^{3x-1}$ и точка $x_0 = \frac{1}{3}$.

Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

В нашем случае, внутренняя функция $u(x) = 3x-1$, а ее производная $u'(x) = 3$.

Тогда производная функции $y$ будет равна:

$y' = (e^{3x-1})' = e^{3x-1} \cdot (3x-1)' = 3e^{3x-1}$.

Теперь найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{3}$, подставив это значение в полученное выражение:

$y'(\frac{1}{3}) = 3e^{3 \cdot \frac{1}{3} - 1} = 3e^{1-1} = 3e^0 = 3 \cdot 1 = 3$.

Ответ: $3$.

б)

Дана функция $y = 3e^{6+x}$ и точка $x_0 = -5$.

Для нахождения производной используем правило вынесения константы за знак производной и правило дифференцирования сложной функции.

Внутренняя функция $u(x) = 6+x$, ее производная $u'(x) = 1$.

Производная функции $y$ равна:

$y' = (3e^{6+x})' = 3 \cdot (e^{6+x})' = 3 \cdot e^{6+x} \cdot (6+x)' = 3e^{6+x} \cdot 1 = 3e^{6+x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -5$:

$y'(-5) = 3e^{6+(-5)} = 3e^{6-5} = 3e^1 = 3e$.

Ответ: $3e$.

в)

Дана функция $y = e^{4-9x}$ и точка $x_0 = \frac{4}{9}$.

Находим производную по правилу дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.

Внутренняя функция $u(x) = 4-9x$, ее производная $u'(x) = -9$.

Производная функции $y$ равна:

$y' = (e^{4-9x})' = e^{4-9x} \cdot (4-9x)' = e^{4-9x} \cdot (-9) = -9e^{4-9x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{4}{9}$:

$y'(\frac{4}{9}) = -9e^{4 - 9 \cdot \frac{4}{9}} = -9e^{4-4} = -9e^0 = -9 \cdot 1 = -9$.

Ответ: $-9$.

г)

Дана функция $y = e^{0,5x-3}$ и точка $x_0 = 4$.

Находим производную по правилу дифференцирования сложной функции.

Внутренняя функция $u(x) = 0,5x-3$, ее производная $u'(x) = 0,5$.

Производная функции $y$ равна:

$y' = (e^{0,5x-3})' = e^{0,5x-3} \cdot (0,5x-3)' = 0,5e^{0,5x-3}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 4$:

$y'(4) = 0,5e^{0,5 \cdot 4 - 3} = 0,5e^{2-3} = 0,5e^{-1} = \frac{1}{2}e^{-1} = \frac{1}{2e}$.

Ответ: $\frac{1}{2e}$.