Номер 19.13, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.13, страница 119.

19.13. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a: $

a) $y = e^{3x-1}, a = \frac{1}{3};$

б) $y = xe^{-2x+1}, a = 0,5;$

в) $y = \frac{2}{e^x}, a = 0;$

г) $y = \frac{e^x}{x+1}, a = 0.$

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ следующий:
$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

а) $y = e^{3x-1}, a = \frac{1}{3}$
1. Найдем значение функции в точке $a$:
$f(a) = f(\frac{1}{3}) = e^{3 \cdot \frac{1}{3} - 1} = e^{1-1} = e^0 = 1$.
2. Найдем производную функции. Используем правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (e^{3x-1})' = e^{3x-1} \cdot (3x-1)' = 3e^{3x-1}$.
3. Найдем значение производной в точке $a$:
$f'(a) = f'(\frac{1}{3}) = 3e^{3 \cdot \frac{1}{3} - 1} = 3e^{1-1} = 3e^0 = 3$.
4. Подставим найденные значения $a = \frac{1}{3}$, $f(a) = 1$ и $f'(a) = 3$ в уравнение касательной:
$y = 1 + 3(x - \frac{1}{3}) = 1 + 3x - 1 = 3x$.
Ответ: $y = 3x$.

б) $y = xe^{-2x+1}, a = 0,5$
1. Найдем значение функции в точке $a$:
$f(a) = f(0,5) = 0,5 \cdot e^{-2 \cdot 0,5 + 1} = 0,5 \cdot e^{-1+1} = 0,5 \cdot e^0 = 0,5$.
2. Найдем производную функции. Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (xe^{-2x+1})' = (x)' \cdot e^{-2x+1} + x \cdot (e^{-2x+1})' = 1 \cdot e^{-2x+1} + x \cdot e^{-2x+1} \cdot (-2) = e^{-2x+1}(1-2x)$.
3. Найдем значение производной в точке $a$:
$f'(a) = f'(0,5) = e^{-2 \cdot 0,5 + 1}(1-2 \cdot 0,5) = e^{-1+1}(1-1) = e^0 \cdot 0 = 0$.
4. Подставим найденные значения $a = 0,5$, $f(a) = 0,5$ и $f'(a) = 0$ в уравнение касательной:
$y = 0,5 + 0(x - 0,5) = 0,5$.
Ответ: $y = 0,5$.

в) $y = \frac{2}{e^x}, a = 0$
Представим функцию в виде $y = 2e^{-x}$.
1. Найдем значение функции в точке $a$:
$f(a) = f(0) = 2e^{-0} = 2 \cdot 1 = 2$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (2e^{-x})' = 2 \cdot e^{-x} \cdot (-1) = -2e^{-x}$.
3. Найдем значение производной в точке $a$:
$f'(a) = f'(0) = -2e^{-0} = -2 \cdot 1 = -2$.
4. Подставим найденные значения $a = 0$, $f(a) = 2$ и $f'(a) = -2$ в уравнение касательной:
$y = 2 + (-2)(x - 0) = 2 - 2x$.
Ответ: $y = -2x + 2$.

г) $y = \frac{e^x}{x+1}, a = 0$
1. Найдем значение функции в точке $a$:
$f(a) = f(0) = \frac{e^0}{0+1} = \frac{1}{1} = 1$.
2. Найдем производную функции. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = (\frac{e^x}{x+1})' = \frac{(e^x)'(x+1) - e^x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{e^x(x+1) - e^x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{e^x(x+1-1)}{(x+1)^2} = \frac{xe^x}{(x+1)^2}$.
3. Найдем значение производной в точке $a$:
$f'(a) = f'(0) = \frac{0 \cdot e^0}{(0+1)^2} = \frac{0}{1} = 0$.
4. Подставим найденные значения $a = 0$, $f(a) = 1$ и $f'(a) = 0$ в уравнение касательной:
$y = 1 + 0(x - 0) = 1$.
Ответ: $y = 1$.