Номер 19.15, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.15, страница 119.

19.15. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$:

a) $y = xe^{2x-1}$, $a = \frac{1}{2}$;

б) $y = (2x + 1)e^{1-2x}$, $a = \frac{1}{2}$.

а)

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ следующий:

$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

В данном случае, функция $f(x) = xe^{2x-1}$ и $a = \frac{1}{2}$.

1. Найдем значение функции в точке касания $a = \frac{1}{2}$:

$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot \frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} \cdot e^{1 - 1} = \frac{1}{2} \cdot e^0 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$:

$u = x, v = e^{2x-1}$

$u' = 1, v' = e^{2x-1} \cdot (2x-1)' = 2e^{2x-1}$

$f'(x) = 1 \cdot e^{2x-1} + x \cdot 2e^{2x-1} = e^{2x-1}(1+2x)$.

3. Найдем значение производной в точке $a = \frac{1}{2}$, которое равно угловому коэффициенту касательной:

$f'(\frac{1}{2}) = e^{2 \cdot \frac{1}{2} - 1}(1 + 2 \cdot \frac{1}{2}) = e^{1-1}(1+1) = e^0 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$.

4. Подставим найденные значения $f(a) = \frac{1}{2}$, $f'(a) = 2$ и $a = \frac{1}{2}$ в уравнение касательной:

$y = \frac{1}{2} + 2(x - \frac{1}{2})$

$y = \frac{1}{2} + 2x - 2 \cdot \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2} + 2x - 1$

$y = 2x - \frac{1}{2}$

Ответ: $y = 2x - \frac{1}{2}$.

б)

Используем то же общее уравнение касательной: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

Здесь функция $f(x) = (2x + 1)e^{1-2x}$ и $a = \frac{1}{2}$.

1. Найдем значение функции в точке касания $a = \frac{1}{2}$:

$f(\frac{1}{2}) = (2 \cdot \frac{1}{2} + 1)e^{1 - 2 \cdot \frac{1}{2}} = (1+1)e^{1-1} = 2e^0 = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Снова используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$:

$u = 2x+1, v = e^{1-2x}$

$u' = 2, v' = e^{1-2x} \cdot (1-2x)' = -2e^{1-2x}$

$f'(x) = 2 \cdot e^{1-2x} + (2x+1) \cdot (-2e^{1-2x}) = e^{1-2x}(2 - 2(2x+1)) = e^{1-2x}(2 - 4x - 2) = -4xe^{1-2x}$.

3. Найдем значение производной в точке $a = \frac{1}{2}$:

$f'(\frac{1}{2}) = -4 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{1 - 2 \cdot \frac{1}{2}} = -2e^{1-1} = -2e^0 = -2 \cdot 1 = -2$.

4. Подставим найденные значения $f(a) = 2$, $f'(a) = -2$ и $a = \frac{1}{2}$ в уравнение касательной:

$y = 2 + (-2)(x - \frac{1}{2})$

$y = 2 - 2x + 2 \cdot \frac{1}{2}$

$y = 2 - 2x + 1$

$y = -2x + 3$

Ответ: $y = -2x + 3$.