Номер 19.22, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.22, страница 120.

19.22. Постройте график функции:

а) $y = \ln (x - 4);$

б) $y = \ln ex;$

в) $y = \ln (x + 3);$

г) $y = \ln \frac{x}{e}.$

а) $y = \ln(x - 4)$

График функции $y = \ln(x - 4)$ получается из графика базовой логарифмической функции $y = \ln x$ путем его преобразования.

1. Базовый график: $y = \ln x$. Это возрастающая кривая, которая определена для всех $x > 0$. График проходит через точку $(1, 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x = 0$ (ось $Oy$), к которой он стремится при $x \to 0^+$.

2. Преобразование: Заданная функция имеет вид $y = f(x - a)$, где $f(x) = \ln x$ и $a = 4$. Такое преобразование является параллельным переносом (сдвигом) графика базовой функции на 4 единицы вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$).

3. Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x - 4 > 0$, что равносильно $x > 4$. Таким образом, область определения функции — это интервал $(4, +\infty)$.

4. Асимптота: Вертикальная асимптота $x = 0$ базового графика также сдвигается на 4 единицы вправо и становится прямой $x = 4$.

5. Контрольные точки:

• Точка пересечения с осью $Ox$ для $y = \ln x$ — это $(1, 0)$. После сдвига она переходит в точку $(1+4, 0) = (5, 0)$. Проверим: $y = \ln(5-4) = \ln 1 = 0$.

• Характерная точка $(e, 1)$ на графике $y = \ln x$ перемещается в точку $(e+4, 1)$.

Для построения графика следует нарисовать стандартную логарифмическую кривую $y = \ln x$ и сдвинуть ее на 4 единицы вправо.

Ответ: График функции $y = \ln(x-4)$ получается из графика $y = \ln x$ сдвигом на 4 единицы вправо вдоль оси $Ox$. Вертикальная асимптота графика — прямая $x=4$. График пересекает ось $Ox$ в точке $(5, 0)$.

б) $y = \ln(ex)$

Для построения графика этой функции сначала преобразуем ее выражение, используя свойство логарифма произведения: $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.

$y = \ln(ex) = \ln e + \ln x = 1 + \ln x$.

Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = \ln x + 1$.

1. Базовый график: $y = \ln x$.

2. Преобразование: Функция имеет вид $y = f(x) + c$, где $f(x) = \ln x$ и $c = 1$. Это соответствует параллельному переносу графика базовой функции на 1 единицу вверх вдоль оси ординат ($Oy$).

3. Область определения: Аргумент $ex$ должен быть положителен. Так как $e > 0$, то $x > 0$. Область определения $(0, +\infty)$ совпадает с областью определения базовой функции.

4. Асимптота: Вертикальный сдвиг не влияет на положение вертикальной асимптоты, поэтому она остается прежней: $x = 0$.

5. Контрольные точки:

• Точка $(1, 0)$ с графика $y = \ln x$ переместится в точку $(1, 0+1) = (1, 1)$. Проверим: $y = \ln(e \cdot 1) = \ln e = 1$.

• Найдем точку пересечения с осью $Ox$, решив уравнение $y = 0$: $1 + \ln x = 0 \implies \ln x = -1 \implies x = e^{-1} = 1/e$. Точка пересечения — $(1/e, 0)$.

Для построения графика следует взять график $y = \ln x$ и сдвинуть его на 1 единицу вверх.

Ответ: График функции $y = \ln(ex)$ получается из графика $y = \ln x$ сдвигом на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. Вертикальная асимптота — $x=0$. График пересекает ось $Ox$ в точке $(1/e, 0)$.

в) $y = \ln(x + 3)$

График функции $y = \ln(x + 3)$ получается из графика $y = \ln x$ путем его сдвига.

1. Базовый график: $y = \ln x$.

2. Преобразование: Функцию можно представить в виде $y = f(x - a)$, где $f(x) = \ln x$ и $a = -3$. Это соответствует параллельному переносу графика базовой функции на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$.

3. Область определения: $x + 3 > 0 \implies x > -3$. Область определения: $(-3, +\infty)$.

4. Асимптота: Вертикальная асимптота $x = 0$ сдвигается на 3 единицы влево и становится прямой $x = -3$.

5. Контрольные точки:

• Точка $(1, 0)$ базового графика сдвигается в точку $(1-3, 0) = (-2, 0)$. Проверим: $y = \ln(-2+3) = \ln 1 = 0$.

• Точка $(e, 1)$ сдвигается в точку $(e-3, 1)$.

Для построения графика необходимо сдвинуть кривую $y = \ln x$ на 3 единицы влево.

Ответ: График функции $y = \ln(x+3)$ получается из графика $y = \ln x$ сдвигом на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$. Вертикальная асимптота — $x=-3$. График пересекает ось $Ox$ в точке $(-2, 0)$.

г) $y = \ln\frac{x}{e}$

Используем свойство логарифма частного $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$ для упрощения функции:

$y = \ln x - \ln e = \ln x - 1$.

Задача сводится к построению графика $y = \ln x - 1$.

1. Базовый график: $y = \ln x$.

2. Преобразование: Функция имеет вид $y = f(x) + c$, где $f(x) = \ln x$ и $c = -1$. Это соответствует параллельному переносу графика базовой функции на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.

3. Область определения: $x/e > 0 \implies x > 0$. Область определения $(0, +\infty)$.

4. Асимптота: Вертикальный сдвиг не меняет асимптоту, она остается $x = 0$.

5. Контрольные точки:

• Точка $(1, 0)$ на графике $y = \ln x$ смещается в точку $(1, 0-1) = (1, -1)$.

• Найдем точку пересечения с осью $Ox$ из условия $y=0$: $\ln x - 1 = 0 \implies \ln x = 1 \implies x = e$. Точка пересечения — $(e, 0)$.

Таким образом, для построения графика нужно взять график $y = \ln x$ и сдвинуть его на 1 единицу вниз.

Ответ: График функции $y = \ln(x/e)$ получается из графика $y = \ln x$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$. Вертикальная асимптота — $x=0$. График пересекает ось $Ox$ в точке $(e, 0)$.