Номер 19.23, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.23, страница 120.

Найдите производную функции:

19.23. a) $y = x^2 \ln x$;

б) $y = \frac{\ln x}{x + 1}$;

в) $y = \frac{x}{\ln x}$;

г) $y = (x - 5) \ln x.$

а) Дана функция $y = x^2 \ln x$. Для нахождения её производной применим правило дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = \ln x$.
Найдём производные этих функций:
$u'(x) = (x^2)' = 2x$
$v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$
Теперь подставим найденные производные в формулу:
$y' = (x^2)' \cdot \ln x + x^2 \cdot (\ln x)' = 2x \cdot \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x$.
Можно вынести общий множитель $x$ за скобки: $y' = x(2 \ln x + 1)$.
Ответ: $y' = 2x \ln x + x$.

б) Дана функция $y = \frac{\ln x}{x + 1}$. Для нахождения её производной применим правило дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В данном случае $u(x) = \ln x$ и $v(x) = x + 1$.
Найдём производные числителя и знаменателя:
$u'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$
$v'(x) = (x + 1)' = 1$
Подставим в формулу производной частного:
$y' = \frac{(\ln x)'(x + 1) - \ln x \cdot (x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{\frac{1}{x}(x + 1) - \ln x \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{\frac{x + 1}{x} - \ln x}{(x + 1)^2}$.
Упростим полученное выражение, приведя числитель к общему знаменателю $x$:
$y' = \frac{\frac{x + 1 - x \ln x}{x}}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - x \ln x}{x(x + 1)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{x + 1 - x \ln x}{x(x+1)^2}$.

в) Дана функция $y = \frac{x}{\ln x}$. Для нахождения её производной снова используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u(x) = x$ и $v(x) = \ln x$.
Найдём производные:
$u'(x) = (x)' = 1$
$v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$
Подставим в формулу:
$y' = \frac{(x)' \cdot \ln x - x \cdot (\ln x)'}{(\ln x)^2} = \frac{1 \cdot \ln x - x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}$.

г) Дана функция $y = (x - 5) \ln x$. Это снова произведение двух функций, поэтому применяем правило $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x - 5$ и $v(x) = \ln x$.
Найдём производные этих функций:
$u'(x) = (x - 5)' = 1$
$v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$
Подставим в формулу производной произведения:
$y' = (x - 5)' \cdot \ln x + (x - 5) \cdot (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + (x - 5) \cdot \frac{1}{x} = \ln x + \frac{x - 5}{x}$.
Можно представить результат в другом виде, разделив дробь на два слагаемых:
$y' = \ln x + \frac{x}{x} - \frac{5}{x} = \ln x + 1 - \frac{5}{x}$.
Ответ: $y' = \ln x + 1 - \frac{5}{x}$.