Номер 19.26, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.26, страница 120.

19.26. a) $y = \ln (2x + 2)$, $x_0 = -\frac{1}{4}$;

б) $y = \ln (5 - 2x)$, $x_0 = 2$;

в) $y = \ln (9 - 5x)$, $x_0 = -2$;

г) $y = -3 \ln (-x + 4)$, $x_0 = -5$.

а) Дана функция $y = \ln(2x + 2)$ и точка $x_0 = -\frac{1}{4}$.

Задача состоит в нахождении значения производной функции в заданной точке $x_0$. Значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Сначала найдем производную функции $y$. Это сложная функция вида $y = \ln(u(x))$, где $u(x) = 2x + 2$. Ее производная находится по формуле $y' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.

Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (2x + 2)' = 2$.

Теперь находим производную исходной функции:

$y' = \frac{2}{2x + 2} = \frac{2}{2(x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$.

Далее вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{1}{4}$:

$y'(-\frac{1}{4}) = \frac{1}{-\frac{1}{4} + 1} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

б) Дана функция $y = \ln(5 - 2x)$ и точка $x_0 = 2$.

Найдем производную данной сложной функции. Пусть $u(x) = 5 - 2x$. Тогда $u'(x) = (5 - 2x)' = -2$.

Производная функции $y$ вычисляется по формуле $y' = \frac{u'(x)}{u(x)}$:

$y' = \frac{-2}{5 - 2x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$y'(2) = \frac{-2}{5 - 2 \cdot 2} = \frac{-2}{5 - 4} = \frac{-2}{1} = -2$.

Ответ: $-2$.

в) Дана функция $y = \ln(9 - 5x)$ и точка $x_0 = -2$.

Найдем производную данной сложной функции. Пусть $u(x) = 9 - 5x$. Тогда $u'(x) = (9 - 5x)' = -5$.

Производная функции $y$ вычисляется по формуле $y' = \frac{u'(x)}{u(x)}$:

$y' = \frac{-5}{9 - 5x}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$:

$y'(-2) = \frac{-5}{9 - 5(-2)} = \frac{-5}{9 + 10} = -\frac{5}{19}$.

Ответ: $-\frac{5}{19}$.

г) Дана функция $y = -3 \ln(-x + 4)$ и точка $x_0 = -5$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения константы на функцию и правило для сложной функции. Пусть $u(x) = -x + 4$. Тогда $u'(x) = (-x + 4)' = -1$.

Производная функции $y$ равна:

$y' = -3 \cdot (\ln(-x + 4))' = -3 \cdot \frac{1}{-x + 4} \cdot (-x + 4)' = -3 \cdot \frac{-1}{-x + 4} = \frac{3}{4 - x}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -5$:

$y'(-5) = \frac{3}{4 - (-5)} = \frac{3}{4 + 5} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.