Номер 19.33, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.33, страница 121.

19.33. Напишите уравнение той касательной к графику функции $y = f(x)$, которая параллельна прямой $y = kx + m$:

a) $f(x) = \ln(3x + 2)$, $y = x + 7$;

б) $f(x) = \ln(x^2 + x)$, $y = 1.5x + 4$.

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$, параллельной прямой $y = kx + m$, необходимо найти точку касания $(x_0, y_0)$, в которой угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту данной прямой. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Таким образом, необходимо решить уравнение $f'(x_0) = k$. После нахождения $x_0$, вычисляется $y_0 = f(x_0)$, и уравнение касательной записывается в виде $y - y_0 = k(x - x_0)$.

а) Дана функция $f(x) = \ln(3x + 2)$ и прямая $y = x + 7$.

1. Угловой коэффициент прямой $y = x + 7$ равен $k=1$.

2. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\ln(3x + 2))' = \frac{1}{3x+2} \cdot (3x+2)' = \frac{3}{3x+2}$.

3. Найдём абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = k$:

$\frac{3}{3x_0+2} = 1$

$3 = 3x_0 + 2$

$3x_0 = 1$

$x_0 = \frac{1}{3}$.

Эта точка принадлежит области определения функции, так как $3(\frac{1}{3}) + 2 = 3 > 0$.

4. Найдём ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:

$y_0 = f(\frac{1}{3}) = \ln(3 \cdot \frac{1}{3} + 2) = \ln(1+2) = \ln(3)$.

5. Составим уравнение касательной, используя точку касания $(\frac{1}{3}, \ln(3))$ и угловой коэффициент $k=1$:

$y - \ln(3) = 1 \cdot (x - \frac{1}{3})$

$y = x - \frac{1}{3} + \ln(3)$.

Ответ: $y = x - \frac{1}{3} + \ln(3)$.

б) Дана функция $f(x) = \ln(x^2 + x)$ и прямая $y = 1,5x + 4$.

1. Угловой коэффициент прямой $y = 1,5x + 4$ равен $k=1,5$.

2. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\ln(x^2 + x))' = \frac{1}{x^2+x} \cdot (x^2+x)' = \frac{2x+1}{x^2+x}$.

Область определения функции задаётся неравенством $x^2+x > 0$, т.е. $x(x+1) > 0$, что верно при $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.

3. Найдём абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = k$:

$\frac{2x_0+1}{x_0^2+x_0} = 1,5$

$\frac{2x_0+1}{x_0^2+x_0} = \frac{3}{2}$

$2(2x_0+1) = 3(x_0^2+x_0)$

$4x_0+2 = 3x_0^2+3x_0$

$3x_0^2 - x_0 - 2 = 0$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

$x_{0,1} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1+5}{6} = 1$.

$x_{0,2} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1-5}{6} = -\frac{2}{3}$.

4. Проверим, принадлежат ли найденные значения области определения. Корень $x_0 = 1$ принадлежит, так как $1 > 0$. Корень $x_0 = -2/3$ не принадлежит, так как $-1 < -2/3 < 0$. Следовательно, существует только одна точка касания с абсциссой $x_0 = 1$.

5. Найдём ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:

$y_0 = f(1) = \ln(1^2 + 1) = \ln(2)$.

6. Составим уравнение касательной, используя точку касания $(1, \ln(2))$ и угловой коэффициент $k=1,5$:

$y - \ln(2) = 1,5(x - 1)$

$y = 1,5x - 1,5 + \ln(2)$.

Ответ: $y = 1,5x - 1,5 + \ln(2)$.