Номер 19.40, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.40, страница 122.

19.40. a) $y = 4 \cdot 2^{3x} - 27 \cdot 2^{2x} + 3 \cdot 2^{x+3}$, $[-2; 0];$

б) $y = 3^{3x} - 2 \cdot 3^{2x} + 9 \cdot 3^{x-2}$, $[-1; 1].$

а) Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 4 \cdot 2^{3x} - 27 \cdot 2^{2x} + 3 \cdot 2^{x+3}$ на отрезке $[-2; 0]$.

1. Упрощение функции.
Преобразуем данную функцию, используя свойства степеней:$y = 4 \cdot (2^x)^3 - 27 \cdot (2^x)^2 + 3 \cdot 2^x \cdot 2^3 = 4(2^x)^3 - 27(2^x)^2 + 24(2^x)$.

2. Замена переменной.
Введем новую переменную $t = 2^x$. Поскольку функция $t(x) = 2^x$ является монотонно возрастающей, то для отрезка $x \in [-2; 0]$ соответствующий отрезок для переменной $t$ будет $[2^{-2}; 2^0]$, то есть $t \in [\frac{1}{4}; 1]$.
После замены функция примет вид: $f(t) = 4t^3 - 27t^2 + 24t$.

3. Нахождение экстремумов функции.
Найдем производную функции $f(t)$ по переменной $t$:$f'(t) = (4t^3 - 27t^2 + 24t)' = 12t^2 - 54t + 24$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:$12t^2 - 54t + 24 = 0$.
Разделим уравнение на 6 для упрощения:$2t^2 - 9t + 4 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$.
Корни уравнения:$t_1 = \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.$t_2 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4$.

4. Проверка принадлежности критических точек отрезку.
Отрезок для переменной $t$ у нас $[\frac{1}{4}; 1]$.Точка $t_1 = \frac{1}{2}$ принадлежит этому отрезку, так как $\frac{1}{4} \leq \frac{1}{2} \leq 1$.Точка $t_2 = 4$ не принадлежит этому отрезку.

5. Вычисление значений функции.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке $[\frac{1}{4}; 1]$ нужно вычислить значения функции в критической точке $t = \frac{1}{2}$ и на концах отрезка $t = \frac{1}{4}$ и $t = 1$.
$f(\frac{1}{4}) = 4(\frac{1}{4})^3 - 27(\frac{1}{4})^2 + 24(\frac{1}{4}) = 4 \cdot \frac{1}{64} - 27 \cdot \frac{1}{16} + 6 = \frac{1}{16} - \frac{27}{16} + \frac{96}{16} = \frac{70}{16} = \frac{35}{8} = 4,375$.
$f(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{2})^3 - 27(\frac{1}{2})^2 + 24(\frac{1}{2}) = 4 \cdot \frac{1}{8} - 27 \cdot \frac{1}{4} + 12 = \frac{1}{2} - \frac{27}{4} + 12 = \frac{2}{4} - \frac{27}{4} + \frac{48}{4} = \frac{23}{4} = 5,75$.
$f(1) = 4(1)^3 - 27(1)^2 + 24(1) = 4 - 27 + 24 = 1$.

6. Определение наибольшего и наименьшего значений.
Сравнивая полученные значения: $1$, $\frac{35}{8}$ и $\frac{23}{4}$, заключаем, что наименьшее значение функции $y_{наим} = 1$, а наибольшее значение $y_{наиб} = \frac{23}{4}$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке равно 1, наибольшее значение равно $\frac{23}{4}$.

б) Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 3^{3x} - 2 \cdot 3^{2x} + 9 \cdot 3^{x-2}$ на отрезке $[-1; 1]$.

1. Упрощение функции.
Преобразуем данную функцию:$y = (3^x)^3 - 2 \cdot (3^x)^2 + 9 \cdot 3^x \cdot 3^{-2} = (3^x)^3 - 2(3^x)^2 + 9 \cdot \frac{1}{9} \cdot 3^x = (3^x)^3 - 2(3^x)^2 + 3^x$.

2. Замена переменной.
Введем новую переменную $t = 3^x$. Поскольку функция $t(x) = 3^x$ является монотонно возрастающей, то для отрезка $x \in [-1; 1]$ соответствующий отрезок для переменной $t$ будет $[3^{-1}; 3^1]$, то есть $t \in [\frac{1}{3}; 3]$.
После замены функция примет вид: $f(t) = t^3 - 2t^2 + t$. Функцию можно также представить в виде $f(t) = t(t^2 - 2t + 1) = t(t-1)^2$.

3. Нахождение экстремумов функции.
Найдем производную функции $f(t)$:$f'(t) = (t^3 - 2t^2 + t)' = 3t^2 - 4t + 1$.
Найдем критические точки, решив уравнение $f'(t) = 0$:$3t^2 - 4t + 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.
Корни уравнения:$t_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.$t_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

4. Проверка принадлежности критических точек отрезку.
Отрезок для переменной $t$ у нас $[\frac{1}{3}; 3]$.Обе критические точки $t_1 = \frac{1}{3}$ и $t_2 = 1$ принадлежат этому отрезку.

5. Вычисление значений функции.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке $[\frac{1}{3}; 3]$ нужно вычислить значения функции в критических точках $t = \frac{1}{3}$, $t = 1$ и на правом конце отрезка $t = 3$ (левый конец совпадает с критической точкой).
$f(\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)^2 = \frac{1}{3}(-\frac{2}{3})^2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{27}$.
$f(1) = 1(1-1)^2 = 0$.
$f(3) = 3(3-1)^2 = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$.

6. Определение наибольшего и наименьшего значений.
Сравнивая полученные значения: $\frac{4}{27}$, $0$ и $12$, заключаем, что наименьшее значение функции $y_{наим} = 0$, а наибольшее значение $y_{наиб} = 12$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке равно 0, наибольшее значение равно 12.