Номер 19.36, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.36, страница 122.

Разберите решение примера 9 в 3 10 учебника.

19.36. Исследуйте функцию на монотонность и найдите точки экстремума:

а) $y = x + \ln \frac{1}{x}$;

б) $y = x^4 - 4 \ln x$.

а) $y = x + \ln\frac{1}{x}$

1. Найдем область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\frac{1}{x} > 0$, что означает $x > 0$.

Следовательно, область определения функции $D(y) = (0; +\infty)$.

2. Упростим функцию, используя свойство логарифма $\ln\frac{1}{a} = -\ln a$:

$y = x - \ln x$.

3. Найдем производную функции $y'$:

$y' = (x - \ln x)' = 1 - \frac{1}{x}$.

4. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю. Производная существует на всей области определения.

$y' = 0 \implies 1 - \frac{1}{x} = 0$.

$1 = \frac{1}{x} \implies x = 1$.

Критическая точка $x=1$ принадлежит области определения функции.

5. Определим знаки производной на интервалах, на которые область определения разбивается критической точкой: $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

При $x \in (0; 1)$, например $x=0.5$, $y'(0.5) = 1 - \frac{1}{0.5} = 1 - 2 = -1 < 0$. Следовательно, на интервале $(0; 1]$ функция убывает.

При $x \in (1; +\infty)$, например $x=2$, $y'(2) = 1 - \frac{1}{2} = 0.5 > 0$. Следовательно, на интервале $[1; +\infty)$ функция возрастает.

6. В точке $x=1$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, $x=1$ является точкой минимума.

$x_{min} = 1$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $(0; 1]$; $x_{min} = 1$ — точка минимума.

б) $y = x^4 - 4 \ln x$

1. Найдем область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x > 0$.

Следовательно, область определения функции $D(y) = (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции $y'$:

$y' = (x^4 - 4 \ln x)' = 4x^3 - 4 \cdot \frac{1}{x} = 4x^3 - \frac{4}{x}$.

3. Найдем критические точки. Производная существует на всей области определения. Приравняем производную к нулю:

$y' = 0 \implies 4x^3 - \frac{4}{x} = 0$.

Приведем к общему знаменателю: $\frac{4x^4 - 4}{x} = 0$.

Так как $x > 0$ по области определения, то $4x^4 - 4 = 0$.

$x^4 = 1$.

Уравнение имеет два действительных корня $x=1$ и $x=-1$. Области определения $D(y) = (0; +\infty)$ принадлежит только корень $x=1$.

Следовательно, имеется одна критическая точка $x=1$.

4. Определим знаки производной на интервалах $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Знак производной $y' = \frac{4(x^4-1)}{x}$ на области определения зависит от знака выражения $(x^4-1)$, так как $4 > 0$ и $x > 0$.

При $x \in (0; 1)$, например $x=0.5$, выражение $x^4-1 = (0.5)^4-1 < 0$, значит $y' < 0$. Следовательно, на интервале $(0; 1]$ функция убывает.

При $x \in (1; +\infty)$, например $x=2$, выражение $x^4-1 = 2^4-1 > 0$, значит $y' > 0$. Следовательно, на интервале $[1; +\infty)$ функция возрастает.

5. В точке $x=1$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, $x=1$ является точкой минимума.

$x_{min} = 1$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $(0; 1]$; $x_{min} = 1$ — точка минимума.