Номер 19.29, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.29, страница 121.

19.29. a) $y = \log_x (x + 1);$

б) $y = \log_{x-1} x^2.$

а) $y = \log_x(x+1)$

Область определения логарифмической функции $y = \log_a(b)$ находится из системы условий, накладываемых на основание $a$ и аргумент $b$:

$ \begin{cases} a > 0 \\ a \neq 1 \\ b > 0 \end{cases} $

Для данной функции основание $a = x$, а аргумент (подлогарифмическое выражение) $b = x+1$. Составим и решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x+1 > 0 \end{cases} $

Решим эту систему:

1. Первое условие: $x > 0$.

2. Второе условие: $x \neq 1$.

3. Третье условие: $x+1 > 0$, откуда получаем $x > -1$.

Теперь найдем пересечение этих условий. Условие $x > 0$ является более строгим, чем $x > -1$, поэтому оно "поглощает" его. Таким образом, мы должны удовлетворить условиям $x > 0$ и $x \neq 1$ одновременно.

Это означает, что $x$ может быть любым положительным числом, кроме 1. Записывая это в виде объединения интервалов, получаем: $x \in (0; 1) \cup (1; \infty)$.

Ответ: $D(y) = (0; 1) \cup (1; \infty)$.

б) $y = \log_{x-1}x^2$

Аналогично предыдущему пункту, область определения функции $y = \log_a(b)$ определяется системой условий:

$ \begin{cases} a > 0 \\ a \neq 1 \\ b > 0 \end{cases} $

Для данной функции основание $a = x-1$, а аргумент $b = x^2$. Составим и решим соответствующую систему неравенств:

$ \begin{cases} x-1 > 0 \\ x-1 \neq 1 \\ x^2 > 0 \end{cases} $

Решим эту систему пошагово:

1. Из первого неравенства $x-1 > 0$ следует, что $x > 1$.

2. Из второго условия $x-1 \neq 1$ следует, что $x \neq 2$.

3. Третье неравенство $x^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$. То есть, $x \neq 0$.

Объединим все найденные условия. Условие $x > 1$ уже гарантирует, что $x \neq 0$. Следовательно, нам нужно учесть только $x > 1$ и $x \neq 2$.

Это означает, что $x$ может быть любым числом, большим 1, за исключением 2. Записывая это в виде объединения интервалов, получаем: $x \in (1; 2) \cup (2; \infty)$.

Ответ: $D(y) = (1; 2) \cup (2; \infty)$.