Номер 19.32, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.32, страница 121.

19.32. Составьте уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$:

а) $f(x) = x^5 - \ln x, a = 1;$

б) $f(x) = \frac{\ln x}{x^2}, a = 1;$

в) $f(x) = -2x \ln x, a = e;$

г) $f(x) = \sqrt[3]{x} \ln x, a = 1.$

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ определяется формулой:

$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

Для каждого случая необходимо найти значение функции $f(a)$ и значение производной $f'(a)$ в заданной точке.

а) $f(x) = x^5 - \ln x$, $a = 1$

1. Найдем значение функции в точке $a=1$:

$f(1) = 1^5 - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^5 - \ln x)' = 5x^4 - \frac{1}{x}$.

3. Найдем значение производной в точке $a=1$. Это значение является угловым коэффициентом касательной:

$f'(1) = 5 \cdot 1^4 - \frac{1}{1} = 5 - 1 = 4$.

4. Подставим найденные значения $f(1)=1$ и $f'(1)=4$ в уравнение касательной:

$y = 1 + 4(x - 1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y = 1 + 4x - 4$

$y = 4x - 3$

Ответ: $y = 4x - 3$.

б) $f(x) = \frac{\ln x}{x^2}$, $a = 1$

1. Найдем значение функции в точке $a=1$:

$f(1) = \frac{\ln(1)}{1^2} = \frac{0}{1} = 0$.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \left(\frac{\ln x}{x^2}\right)' = \frac{(\ln x)' \cdot x^2 - \ln x \cdot (x^2)'}{(x^2)^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \ln x \cdot 2x}{x^4} = \frac{x - 2x \ln x}{x^4} = \frac{x(1 - 2 \ln x)}{x^4} = \frac{1 - 2 \ln x}{x^3}$.

3. Найдем значение производной в точке $a=1$:

$f'(1) = \frac{1 - 2 \ln(1)}{1^3} = \frac{1 - 2 \cdot 0}{1} = 1$.

4. Подставим найденные значения $f(1)=0$ и $f'(1)=1$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 1(x - 1)$

$y = x - 1$

Ответ: $y = x - 1$.

в) $f(x) = -2x \ln x$, $a = e$

1. Найдем значение функции в точке $a=e$ (здесь $e$ - основание натурального логарифма):

$f(e) = -2e \ln(e) = -2e \cdot 1 = -2e$.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (-2x \ln x)' = (-2x)' \cdot \ln x + (-2x) \cdot (\ln x)' = -2 \ln x - 2x \cdot \frac{1}{x} = -2 \ln x - 2$.

3. Найдем значение производной в точке $a=e$:

$f'(e) = -2 \ln(e) - 2 = -2 \cdot 1 - 2 = -4$.

4. Подставим найденные значения $f(e)=-2e$ и $f'(e)=-4$ в уравнение касательной:

$y = -2e + (-4)(x - e)$

$y = -2e - 4x + 4e$

$y = -4x + 2e$

Ответ: $y = -4x + 2e$.

г) $f(x) = \sqrt[3]{x} \ln x$, $a = 1$

Представим функцию в виде $f(x) = x^{1/3} \ln x$ для удобства дифференцирования.

1. Найдем значение функции в точке $a=1$:

$f(1) = 1^{1/3} \ln(1) = 1 \cdot 0 = 0$.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения:

$f'(x) = (x^{1/3} \ln x)' = (x^{1/3})' \cdot \ln x + x^{1/3} \cdot (\ln x)' = \frac{1}{3}x^{-2/3} \ln x + x^{1/3} \cdot \frac{1}{x} = \frac{\ln x}{3x^{2/3}} + x^{-2/3} = \frac{\ln x}{3\sqrt[3]{x^2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = \frac{\ln x + 3}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

3. Найдем значение производной в точке $a=1$:

$f'(1) = \frac{\ln(1) + 3}{3\sqrt[3]{1^2}} = \frac{0 + 3}{3 \cdot 1} = 1$.

4. Подставим найденные значения $f(1)=0$ и $f'(1)=1$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 1(x - 1)$

$y = x - 1$

Ответ: $y = x - 1$.