Номер 19.28, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 19.28, страница 121.

19.28. a) $y = 7^x \ln (2x + 3);$

В) $y = x^2 \log_{\frac{1}{2}} (3x - 1);$

б) $y = \frac{\log_5 (3x + 2)}{x^5};$

Г) $y = \frac{\ln (2x - 1)}{3^x}.$

а) Для нахождения производной функции $y = 7^x \ln(2x + 3)$ используется правило дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 7^x$ и $v(x) = \ln(2x + 3)$.

Находим производные этих функций:

$u'(x) = (7^x)' = 7^x \ln 7$.

Для нахождения производной $v(x)$ применяем правило для сложной функции: $(\ln(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)}$.

$v'(x) = (\ln(2x + 3))' = \frac{(2x + 3)'}{2x + 3} = \frac{2}{2x + 3}$.

Подставляем найденные производные в формулу для производной произведения:

$y' = u'v + uv' = (7^x \ln 7) \cdot \ln(2x + 3) + 7^x \cdot \frac{2}{2x + 3}$.

Выносим общий множитель $7^x$ за скобки:

$y' = 7^x \left(\ln 7 \cdot \ln(2x + 3) + \frac{2}{2x + 3}\right)$.

Ответ: $y' = 7^x \left(\ln 7 \cdot \ln(2x + 3) + \frac{2}{2x + 3}\right)$.

б) Для нахождения производной функции $y = \frac{\log_5(3x + 2)}{x^5}$ используется правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = \log_5(3x + 2)$ и $v(x) = x^5$.

Находим производные этих функций.

Для $u(x)$ используем формулу производной логарифма и правило дифференцирования сложной функции: $(\log_a(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)\ln a}$.

$u'(x) = (\log_5(3x + 2))' = \frac{(3x + 2)'}{(3x + 2)\ln 5} = \frac{3}{(3x + 2)\ln 5}$.

$v'(x) = (x^5)' = 5x^4$.

Подставляем производные в формулу для производной частного:

$y' = \frac{\frac{3}{(3x + 2)\ln 5} \cdot x^5 - \log_5(3x + 2) \cdot 5x^4}{(x^5)^2} = \frac{\frac{3x^5}{(3x + 2)\ln 5} - 5x^4\log_5(3x + 2)}{x^{10}}$.

Выносим $x^4$ в числителе за скобки и сокращаем дробь:

$y' = \frac{x^4 \left(\frac{3x}{(3x + 2)\ln 5} - 5\log_5(3x + 2)\right)}{x^{10}} = \frac{\frac{3x}{(3x + 2)\ln 5} - 5\log_5(3x + 2)}{x^6}$.

Приведем числитель к общему знаменателю $(3x+2)\ln 5$ и используем свойство $\ln a \cdot \log_a b = \ln b$:

$y' = \frac{\frac{3x - 5(3x+2)\ln 5 \log_5(3x+2)}{(3x+2)\ln 5}}{x^6} = \frac{3x - 5(3x+2)\ln(3x+2)}{x^6(3x+2)\ln 5}$.

Ответ: $y' = \frac{3x - 5(3x+2)\ln(3x+2)}{x^6(3x+2)\ln 5}$.

в) Для нахождения производной функции $y = x^2 \log_{\frac{1}{2}}(3x - 1)$ используется правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = \log_{\frac{1}{2}}(3x - 1)$.

Находим производные:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Для нахождения производной $v(x)$ используем формулу $(\log_a z)' = \frac{1}{z \ln a}$ и правило для сложной функции. Учтем, что основание логарифма $a = \frac{1}{2}$, и $\ln(\frac{1}{2}) = -\ln 2$.

$v'(x) = (\log_{\frac{1}{2}}(3x - 1))' = \frac{(3x-1)'}{(3x-1)\ln(\frac{1}{2})} = \frac{3}{(3x-1)(-\ln 2)} = -\frac{3}{(3x-1)\ln 2}$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 2x \cdot \log_{\frac{1}{2}}(3x-1) + x^2 \left(-\frac{3}{(3x-1)\ln 2}\right)$.

Упрощаем выражение:

$y' = 2x \log_{\frac{1}{2}}(3x-1) - \frac{3x^2}{(3x-1)\ln 2}$.

Ответ: $y' = 2x \log_{\frac{1}{2}}(3x-1) - \frac{3x^2}{(3x-1)\ln 2}$.

г) Для нахождения производной функции $y = \frac{\ln(2x - 1)}{3^x}$ используется правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = \ln(2x - 1)$ и $v(x) = 3^x$.

Находим производные:

$u'(x) = (\ln(2x-1))' = \frac{(2x-1)'}{2x-1} = \frac{2}{2x-1}$.

$v'(x) = (3^x)' = 3^x \ln 3$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{\frac{2}{2x-1} \cdot 3^x - \ln(2x-1) \cdot 3^x \ln 3}{(3^x)^2}$.

Выносим $3^x$ в числителе за скобки и сокращаем дробь:

$y' = \frac{3^x \left(\frac{2}{2x-1} - \ln(2x-1) \ln 3\right)}{(3^x)^2} = \frac{\frac{2}{2x-1} - \ln(2x-1) \ln 3}{3^x}$.

Приведем числитель к общему знаменателю, чтобы получить более компактную форму ответа:

$y' = \frac{\frac{2 - (2x-1)\ln(2x-1)\ln 3}{2x-1}}{3^x} = \frac{2 - (2x-1)\ln(2x-1)\ln 3}{3^x(2x-1)}$.

Ответ: $y' = \frac{2 - (2x-1)\ln(2x-1)\ln 3}{3^x(2x-1)}$.