Страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Как связаны между собой графики функций:

а) $y = 2^x$ и $y = \log_2 x$;

б) $y = 10^x$ и $y = \lg x$;

в) $y = \log_3 x$ и $y = -\log_3 x$;

г) $y = \log_3 x$ и $y = \log_3 x + 2$;

д) $y = \log_3 x$ и $y = \log_3(x - 2)$?

а) $y = 2^x$ и $y = \log_2 x$

Функции $y = a^x$ (показательная) и $y = \log_a x$ (логарифмическая) с одинаковым основанием $a$ являются взаимно обратными. В данном случае основание $a = 2$. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$ (биссектрисы первого и третьего координатных углов). Таким образом, график функции $y = \log_2 x$ получается из графика функции $y = 2^x$ путем симметричного отражения относительно прямой $y = x$.

Ответ: Графики данных функций являются взаимно обратными и симметричны относительно прямой $y = x$.

б) $y = 10^x$ и $y = \lg x$

Запись $y = \lg x$ означает десятичный логарифм, то есть $y = \log_{10} x$. Как и в предыдущем пункте, мы имеем дело с показательной и логарифмической функциями с одинаковым основанием $a = 10$. Эти функции являются взаимно обратными. Следовательно, их графики симметричны друг другу относительно прямой $y = x$.

Ответ: Графики данных функций являются взаимно обратными и симметричны относительно прямой $y = x$.

в) $y = \log_3 x$ и $y = -\log_3 x$

Для построения графика функции $y = -f(x)$ из графика функции $y = f(x)$ необходимо выполнить симметричное отражение относительно оси абсцисс (оси Ox). В нашем случае $f(x) = \log_3 x$. Каждой точке $(x_0, y_0)$ на графике $y = \log_3 x$ соответствует точка $(x_0, -y_0)$ на графике $y = -\log_3 x$. Таким образом, график функции $y = -\log_3 x$ получается из графика $y = \log_3 x$ путем симметричного отражения относительно оси Ox.

Ответ: График функции $y = -\log_3 x$ получен из графика функции $y = \log_3 x$ симметричным отражением относительно оси абсцисс (Ox).

г) $y = \log_3 x$ и $y = \log_3 x + 2$

График функции $y = f(x) + c$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (оси Oy) на $c$ единиц. Если $c > 0$, сдвиг выполняется вверх, если $c < 0$ — вниз. В данном случае $f(x) = \log_3 x$ и $c = 2$. Это означает, что для получения графика $y = \log_3 x + 2$ нужно сдвинуть график $y = \log_3 x$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Ответ: График функции $y = \log_3 x + 2$ получен из графика функции $y = \log_3 x$ параллельным переносом на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (Oy).

д) $y = \log_3 x$ и $y = \log_3(x - 2)$

График функции $y = f(x - c)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (оси Ox) на $c$ единиц. Если $c > 0$, сдвиг выполняется вправо, если $c < 0$ — влево. В данном случае $f(x) = \log_3 x$ и $c = 2$. Значит, для получения графика $y = \log_3(x - 2)$ нужно сдвинуть график $y = \log_3 x$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

Ответ: График функции $y = \log_3(x - 2)$ получен из графика функции $y = \log_3 x$ параллельным переносом на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (Ox).

2. При каком основании $a$ функция $y = \log_a x$:

а) возрастает;

б) убывает;

в) выпукла вверх;

г) выпукла вниз?

Для анализа свойств функции $y = \log_a x$, мы будем использовать ее производные. Сначала определим область допустимых значений для основания логарифма $a$: $a > 0$ и $a \neq 1$. Область определения самой функции: $x > 0$.

Найдем первую и вторую производные функции. Для этого удобно перейти к натуральному логарифму по формуле $ \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} $:

$y = \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$

Первая производная по $x$:

$y' = \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)' = \frac{1}{\ln a} \cdot (\ln x)' = \frac{1}{x \ln a}$

Вторая производная по $x$:

$y'' = \left(\frac{1}{x \ln a}\right)' = \frac{1}{\ln a} \cdot (x^{-1})' = \frac{1}{\ln a} \cdot (-1 \cdot x^{-2}) = -\frac{1}{x^2 \ln a}$

Теперь рассмотрим каждый пункт вопроса.

а) возрастает

Функция возрастает на своей области определения, если ее первая производная положительна, то есть $y' > 0$.

$y' = \frac{1}{x \ln a} > 0$

Поскольку по области определения функции $x > 0$, знак производной зависит только от знака выражения $\ln a$.

Для того чтобы дробь была положительной, знаменатель $x \ln a$ должен быть положительным. Так как $x > 0$, необходимо, чтобы $\ln a > 0$.

Решая неравенство $\ln a > 0$, получаем $a > e^0$, что равносильно $a > 1$.

Ответ: $a \in (1, +\infty)$

б) убывает

Функция убывает, если ее первая производная отрицательна, то есть $y' < 0$.

$y' = \frac{1}{x \ln a} < 0$

Так как $x > 0$, для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель $x \ln a$ был отрицательным, а значит $\ln a < 0$.

Решая неравенство $\ln a < 0$ с учетом ОДЗ для основания ($a > 0$), получаем $0 < a < e^0$, что равносильно $0 < a < 1$.

Ответ: $a \in (0, 1)$

в) выпукла вверх

Функция является выпуклой вверх (вогнутой), если ее вторая производная отрицательна, то есть $y'' < 0$.

$y'' = -\frac{1}{x^2 \ln a} < 0$

Домножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак на противоположный:

$\frac{1}{x^2 \ln a} > 0$

В области определения функции $x > 0$, следовательно, $x^2 > 0$. Значит, знак дроби определяется знаком $\ln a$.

Необходимо, чтобы $\ln a > 0$, что, как мы выяснили в пункте а), соответствует условию $a > 1$.

Ответ: $a \in (1, +\infty)$

г) выпукла вниз

Функция является выпуклой вниз (или просто выпуклой), если ее вторая производная положительна, то есть $y'' > 0$.

$y'' = -\frac{1}{x^2 \ln a} > 0$

Домножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак на противоположный:

$\frac{1}{x^2 \ln a} < 0$

Поскольку $x^2 > 0$, знак дроби определяется знаком $\ln a$.

Необходимо, чтобы $\ln a < 0$, что, как мы выяснили в пункте б), соответствует условию $0 < a < 1$.

Ответ: $a \in (0, 1)$

3. Напишите уравнение асимптоты для графика функции:

а) $y = \lg x$;

б) $y = \log_2(x - 1)$;

в) $y = \log_{0.5} (x + 4)$;

г) $y = \log_2 x - 3$.

Асимптотой графика логарифмической функции вида $y = C \cdot \log_a(kx + b) + D$ является вертикальная прямая. Уравнение этой прямой можно найти, приравняв аргумент логарифма к нулю, так как логарифм определен только для положительных значений аргумента, и при приближении аргумента к нулю значение функции стремится к бесконечности ($\pm\infty$).

а) $y = \lg x$

Данная функция представляет собой десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $y = \log_{10} x$.
Аргументом логарифма является переменная $x$. Область определения функции задается неравенством $x > 0$.
Чтобы найти уравнение вертикальной асимптоты, приравниваем аргумент к нулю:
$x = 0$.
Это уравнение оси ординат (оси OY).

Ответ: $x = 0$.

б) $y = \log_2(x - 1)$

Аргументом логарифма является выражение $(x - 1)$. Область определения функции: $x - 1 > 0$, откуда следует $x > 1$.
Приравниваем аргумент логарифма к нулю для нахождения уравнения асимптоты:
$x - 1 = 0$.
Решая это простое уравнение, получаем:
$x = 1$.
График этой функции получается сдвигом графика $y = \log_2 x$ на 1 единицу вправо, поэтому и его асимптота $x=0$ сдвигается на 1 вправо.

Ответ: $x = 1$.

в) $y = \log_{0.5}(x + 4)$

Аргументом логарифма является выражение $(x + 4)$. Область определения функции: $x + 4 > 0$, то есть $x > -4$.
Приравниваем аргумент к нулю, чтобы найти уравнение вертикальной асимптоты:
$x + 4 = 0$.
Отсюда получаем:
$x = -4$.
График этой функции получается сдвигом графика $y = \log_{0.5} x$ на 4 единицы влево.

Ответ: $x = -4$.

г) $y = \log_2 x - 3$

В данной функции аргументом логарифма является $x$. Область определения: $x > 0$.
Вычитание константы 3 из значения логарифма соответствует сдвигу графика функции $y = \log_2 x$ на 3 единицы вниз по оси OY. Такой сдвиг не изменяет положение вертикальной асимптоты.
Приравниваем аргумент $x$ к нулю:
$x = 0$.
Это и есть уравнение асимптоты.

Ответ: $x = 0$.

Найдите производную функции:

19.27. а) $y = 2^x - \log_3(x - 1)$

б) $y = 3^{-x} + 2 \log_{\frac{1}{2}} x$

в) $y = 5^x - 7 \log_{\frac{1}{3}}(x + 1)$

г) $y = \left(\frac{1}{7}\right)^x + \log_5(x + 4)$

а) Найдём производную функции $y = 2^x - \log_3(x - 1)$.

Производная разности функций равна разности их производных. Для нахождения производной будем использовать следующие правила:

• Производная показательной функции: $(a^x)' = a^x \ln a$.
• Производная логарифмической функции (с учётом производной сложной функции): $(\log_a u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x) \ln a}$.

Применим эти правила к нашей функции:

$y' = (2^x - \log_3(x - 1))' = (2^x)' - (\log_3(x - 1))'$

Найдём производную каждого слагаемого:

1. $(2^x)' = 2^x \ln 2$.

2. Для $\log_3(x - 1)$, имеем $u(x) = x - 1$, следовательно $u'(x) = 1$. Тогда:

$(\log_3(x - 1))' = \frac{1}{(x-1) \ln 3}$.

Объединяем результаты:

$y' = 2^x \ln 2 - \frac{1}{(x-1) \ln 3}$.

Ответ: $y' = 2^x \ln 2 - \frac{1}{(x-1) \ln 3}$.

б) Найдём производную функции $y = 3^{-x} + 2\log_{\frac{1}{2}} x$.

Производная суммы функций равна сумме их производных. Используем правила:

• Производная сложной показательной функции: $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$.
• Производная логарифмической функции: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.
• Правило вынесения константы: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.

$y' = (3^{-x} + 2\log_{\frac{1}{2}} x)' = (3^{-x})' + (2\log_{\frac{1}{2}} x)'$.

1. Для $3^{-x}$, имеем $u(x) = -x$, значит $u'(x) = -1$.

$(3^{-x})' = 3^{-x} \ln 3 \cdot (-1) = -3^{-x} \ln 3$.

2. Для $2\log_{\frac{1}{2}} x$:

$(2\log_{\frac{1}{2}} x)' = 2 \cdot (\log_{\frac{1}{2}} x)' = 2 \cdot \frac{1}{x \ln(\frac{1}{2})}$.

Так как $\ln(\frac{1}{2}) = \ln(2^{-1}) = -\ln 2$, получаем:

$2 \cdot \frac{1}{x(-\ln 2)} = -\frac{2}{x \ln 2}$.

Объединяем результаты:

$y' = -3^{-x} \ln 3 - \frac{2}{x \ln 2}$.

Ответ: $y' = -3^{-x} \ln 3 - \frac{2}{x \ln 2}$.

в) Найдём производную функции $y = 5^x - 7\log_{\frac{1}{3}}(x + 1)$.

Используем те же правила дифференцирования, что и в предыдущих пунктах.

$y' = (5^x - 7\log_{\frac{1}{3}}(x + 1))' = (5^x)' - (7\log_{\frac{1}{3}}(x + 1))'$.

1. $(5^x)' = 5^x \ln 5$.

2. Для $7\log_{\frac{1}{3}}(x + 1)$, имеем $u(x) = x + 1$, $u'(x) = 1$.

$(7\log_{\frac{1}{3}}(x + 1))' = 7 \cdot \frac{1}{(x+1)\ln(\frac{1}{3})}$.

Так как $\ln(\frac{1}{3}) = \ln(3^{-1}) = -\ln 3$, получаем:

$7 \cdot \frac{1}{(x+1)(-\ln 3)} = -\frac{7}{(x+1)\ln 3}$.

Объединяем результаты, учитывая знак "минус" перед вторым слагаемым в исходной функции:

$y' = 5^x \ln 5 - \left(-\frac{7}{(x+1)\ln 3}\right) = 5^x \ln 5 + \frac{7}{(x+1)\ln 3}$.

Ответ: $y' = 5^x \ln 5 + \frac{7}{(x+1)\ln 3}$.

г) Найдём производную функции $y = \left(\frac{1}{7}\right)^x + \log_5(x + 4)$.

Применяем правила дифференцирования для суммы функций.

$y' = \left(\left(\frac{1}{7}\right)^x + \log_5(x + 4)\right)' = \left(\left(\frac{1}{7}\right)^x\right)' + (\log_5(x + 4))'$.

1. Для $\left(\frac{1}{7}\right)^x$:

$\left(\left(\frac{1}{7}\right)^x\right)' = \left(\frac{1}{7}\right)^x \ln\left(\frac{1}{7}\right)$.

Так как $\ln(\frac{1}{7}) = \ln(7^{-1}) = -\ln 7$, получаем:

$\left(\frac{1}{7}\right)^x (-\ln 7) = -\left(\frac{1}{7}\right)^x \ln 7$.

2. Для $\log_5(x + 4)$, имеем $u(x) = x+4$, $u'(x) = 1$.

$(\log_5(x + 4))' = \frac{1}{(x+4)\ln 5}$.

Объединяем результаты:

$y' = -\left(\frac{1}{7}\right)^x \ln 7 + \frac{1}{(x+4)\ln 5}$.

Ответ: $y' = -\left(\frac{1}{7}\right)^x \ln 7 + \frac{1}{(x+4)\ln 5}$.

19.28. a) $y = 7^x \ln (2x + 3);$

В) $y = x^2 \log_{\frac{1}{2}} (3x - 1);$

б) $y = \frac{\log_5 (3x + 2)}{x^5};$

Г) $y = \frac{\ln (2x - 1)}{3^x}.$

а) Для нахождения производной функции $y = 7^x \ln(2x + 3)$ используется правило дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 7^x$ и $v(x) = \ln(2x + 3)$.

Находим производные этих функций:

$u'(x) = (7^x)' = 7^x \ln 7$.

Для нахождения производной $v(x)$ применяем правило для сложной функции: $(\ln(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)}$.

$v'(x) = (\ln(2x + 3))' = \frac{(2x + 3)'}{2x + 3} = \frac{2}{2x + 3}$.

Подставляем найденные производные в формулу для производной произведения:

$y' = u'v + uv' = (7^x \ln 7) \cdot \ln(2x + 3) + 7^x \cdot \frac{2}{2x + 3}$.

Выносим общий множитель $7^x$ за скобки:

$y' = 7^x \left(\ln 7 \cdot \ln(2x + 3) + \frac{2}{2x + 3}\right)$.

Ответ: $y' = 7^x \left(\ln 7 \cdot \ln(2x + 3) + \frac{2}{2x + 3}\right)$.

б) Для нахождения производной функции $y = \frac{\log_5(3x + 2)}{x^5}$ используется правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = \log_5(3x + 2)$ и $v(x) = x^5$.

Находим производные этих функций.

Для $u(x)$ используем формулу производной логарифма и правило дифференцирования сложной функции: $(\log_a(g(x)))' = \frac{g'(x)}{g(x)\ln a}$.

$u'(x) = (\log_5(3x + 2))' = \frac{(3x + 2)'}{(3x + 2)\ln 5} = \frac{3}{(3x + 2)\ln 5}$.

$v'(x) = (x^5)' = 5x^4$.

Подставляем производные в формулу для производной частного:

$y' = \frac{\frac{3}{(3x + 2)\ln 5} \cdot x^5 - \log_5(3x + 2) \cdot 5x^4}{(x^5)^2} = \frac{\frac{3x^5}{(3x + 2)\ln 5} - 5x^4\log_5(3x + 2)}{x^{10}}$.

Выносим $x^4$ в числителе за скобки и сокращаем дробь:

$y' = \frac{x^4 \left(\frac{3x}{(3x + 2)\ln 5} - 5\log_5(3x + 2)\right)}{x^{10}} = \frac{\frac{3x}{(3x + 2)\ln 5} - 5\log_5(3x + 2)}{x^6}$.

Приведем числитель к общему знаменателю $(3x+2)\ln 5$ и используем свойство $\ln a \cdot \log_a b = \ln b$:

$y' = \frac{\frac{3x - 5(3x+2)\ln 5 \log_5(3x+2)}{(3x+2)\ln 5}}{x^6} = \frac{3x - 5(3x+2)\ln(3x+2)}{x^6(3x+2)\ln 5}$.

Ответ: $y' = \frac{3x - 5(3x+2)\ln(3x+2)}{x^6(3x+2)\ln 5}$.

в) Для нахождения производной функции $y = x^2 \log_{\frac{1}{2}}(3x - 1)$ используется правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = \log_{\frac{1}{2}}(3x - 1)$.

Находим производные:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Для нахождения производной $v(x)$ используем формулу $(\log_a z)' = \frac{1}{z \ln a}$ и правило для сложной функции. Учтем, что основание логарифма $a = \frac{1}{2}$, и $\ln(\frac{1}{2}) = -\ln 2$.

$v'(x) = (\log_{\frac{1}{2}}(3x - 1))' = \frac{(3x-1)'}{(3x-1)\ln(\frac{1}{2})} = \frac{3}{(3x-1)(-\ln 2)} = -\frac{3}{(3x-1)\ln 2}$.

Подставляем в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 2x \cdot \log_{\frac{1}{2}}(3x-1) + x^2 \left(-\frac{3}{(3x-1)\ln 2}\right)$.

Упрощаем выражение:

$y' = 2x \log_{\frac{1}{2}}(3x-1) - \frac{3x^2}{(3x-1)\ln 2}$.

Ответ: $y' = 2x \log_{\frac{1}{2}}(3x-1) - \frac{3x^2}{(3x-1)\ln 2}$.

г) Для нахождения производной функции $y = \frac{\ln(2x - 1)}{3^x}$ используется правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = \ln(2x - 1)$ и $v(x) = 3^x$.

Находим производные:

$u'(x) = (\ln(2x-1))' = \frac{(2x-1)'}{2x-1} = \frac{2}{2x-1}$.

$v'(x) = (3^x)' = 3^x \ln 3$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{\frac{2}{2x-1} \cdot 3^x - \ln(2x-1) \cdot 3^x \ln 3}{(3^x)^2}$.

Выносим $3^x$ в числителе за скобки и сокращаем дробь:

$y' = \frac{3^x \left(\frac{2}{2x-1} - \ln(2x-1) \ln 3\right)}{(3^x)^2} = \frac{\frac{2}{2x-1} - \ln(2x-1) \ln 3}{3^x}$.

Приведем числитель к общему знаменателю, чтобы получить более компактную форму ответа:

$y' = \frac{\frac{2 - (2x-1)\ln(2x-1)\ln 3}{2x-1}}{3^x} = \frac{2 - (2x-1)\ln(2x-1)\ln 3}{3^x(2x-1)}$.

Ответ: $y' = \frac{2 - (2x-1)\ln(2x-1)\ln 3}{3^x(2x-1)}$.

19.29. a) $y = \log_x (x + 1);$

б) $y = \log_{x-1} x^2.$

а) $y = \log_x(x+1)$

Область определения логарифмической функции $y = \log_a(b)$ находится из системы условий, накладываемых на основание $a$ и аргумент $b$:

$ \begin{cases} a > 0 \\ a \neq 1 \\ b > 0 \end{cases} $

Для данной функции основание $a = x$, а аргумент (подлогарифмическое выражение) $b = x+1$. Составим и решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x+1 > 0 \end{cases} $

Решим эту систему:

1. Первое условие: $x > 0$.

2. Второе условие: $x \neq 1$.

3. Третье условие: $x+1 > 0$, откуда получаем $x > -1$.

Теперь найдем пересечение этих условий. Условие $x > 0$ является более строгим, чем $x > -1$, поэтому оно "поглощает" его. Таким образом, мы должны удовлетворить условиям $x > 0$ и $x \neq 1$ одновременно.

Это означает, что $x$ может быть любым положительным числом, кроме 1. Записывая это в виде объединения интервалов, получаем: $x \in (0; 1) \cup (1; \infty)$.

Ответ: $D(y) = (0; 1) \cup (1; \infty)$.

б) $y = \log_{x-1}x^2$

Аналогично предыдущему пункту, область определения функции $y = \log_a(b)$ определяется системой условий:

$ \begin{cases} a > 0 \\ a \neq 1 \\ b > 0 \end{cases} $

Для данной функции основание $a = x-1$, а аргумент $b = x^2$. Составим и решим соответствующую систему неравенств:

$ \begin{cases} x-1 > 0 \\ x-1 \neq 1 \\ x^2 > 0 \end{cases} $

Решим эту систему пошагово:

1. Из первого неравенства $x-1 > 0$ следует, что $x > 1$.

2. Из второго условия $x-1 \neq 1$ следует, что $x \neq 2$.

3. Третье неравенство $x^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$. То есть, $x \neq 0$.

Объединим все найденные условия. Условие $x > 1$ уже гарантирует, что $x \neq 0$. Следовательно, нам нужно учесть только $x > 1$ и $x \neq 2$.

Это означает, что $x$ может быть любым числом, большим 1, за исключением 2. Записывая это в виде объединения интервалов, получаем: $x \in (1; 2) \cup (2; \infty)$.

Ответ: $D(y) = (1; 2) \cup (2; \infty)$.

19.30. a) $y = \ln \left( 2x^3 - \frac{3}{x} \right);$

б) $y = \ln^2 (3x - 4);$

В) $y = \ln (2 \operatorname{tg} x + x);$

Г) $y = \frac{1}{\sqrt[5]{\ln 2x}}.$

а) $y = \ln\left(2x^3 - \frac{3}{x}\right)$

Для нахождения производной этой функции используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Функция представляет собой композицию двух функций: внешней $f(u) = \ln(u)$ и внутренней $g(x) = 2x^3 - \frac{3}{x}$.
Производная сложной функции находится по формуле $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
1. Найдём производную внешней функции: $(\ln u)' = \frac{1}{u}$. 2. Найдём производную внутренней функции. Для удобства представим $\frac{3}{x}$ как $3x^{-1}$.
$g'(x) = \left(2x^3 - 3x^{-1}\right)' = (2x^3)' - (3x^{-1})' = 2 \cdot 3x^2 - 3 \cdot (-1)x^{-2} = 6x^2 + 3x^{-2} = 6x^2 + \frac{3}{x^2}$.
3. Подставим найденные производные в формулу цепного правила:
$y' = \frac{1}{2x^3 - \frac{3}{x}} \cdot \left(6x^2 + \frac{3}{x^2}\right)$.
4. Упростим полученное выражение. Приведём к общему знаменателю выражения в скобках и в знаменателе дроби:
$y' = \frac{1}{\frac{2x^4 - 3}{x}} \cdot \frac{6x^4 + 3}{x^2} = \frac{x}{2x^4 - 3} \cdot \frac{3(2x^4 + 1)}{x^2}$.
Сократим на $x$:
$y' = \frac{3(2x^4 + 1)}{x(2x^4 - 3)}$.

Ответ: $y' = \frac{3(2x^4 + 1)}{x(2x^4 - 3)}$

б) $y = \ln^2(3x - 4)$

Эту функцию можно записать как $y = (\ln(3x - 4))^2$. Это сложная функция, состоящая из трех вложенных функций: $h(u) = u^2$, $f(v) = \ln(v)$, $g(x) = 3x - 4$.
Применим цепное правило последовательно:
1. Производная внешней функции $h(u)=u^2$ равна $h'(u) = 2u$. В нашем случае $u = \ln(3x-4)$.
2. Производная средней функции $f(v)=\ln(v)$ равна $f'(v) = \frac{1}{v}$. Здесь $v = 3x-4$.
3. Производная внутренней функции $g(x)=3x-4$ равна $g'(x) = 3$.
4. Перемножим эти производные, чтобы найти $y'$:
$y' = 2(\ln(3x-4)) \cdot \frac{1}{3x-4} \cdot 3$.
Упростим выражение:
$y' = \frac{6 \ln(3x-4)}{3x-4}$.

Ответ: $y' = \frac{6 \ln(3x-4)}{3x-4}$

в) $y = \ln(2 \tg x + x)$

Это сложная функция, где внешняя функция $f(u) = \ln(u)$, а внутренняя $g(x) = 2 \tg x + x$.
Применяем цепное правило $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
1. Производная внешней функции: $(\ln u)' = \frac{1}{u}$.
2. Производная внутренней функции: $g'(x) = (2 \tg x + x)' = (2 \tg x)' + (x)'$.
Мы знаем, что $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ и $(x)' = 1$.
Следовательно, $g'(x) = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + 1 = \frac{2}{\cos^2 x} + 1$.
3. Собираем все вместе:
$y' = \frac{1}{2 \tg x + x} \cdot \left(\frac{2}{\cos^2 x} + 1\right)$.
Можно оставить ответ в таком виде или записать в виде одной дроби:
$y' = \frac{1 + \frac{2}{\cos^2 x}}{x + 2 \tg x}$.

Ответ: $y' = \frac{1 + \frac{2}{\cos^2 x}}{x + 2 \tg x}$

г) $y = \frac{1}{\sqrt[5]{\ln 2x}}$

Сначала перепишем функцию в виде степени для удобства дифференцирования:
$y = (\ln(2x))^{-1/5}$.
Это сложная функция, состоящая из композиции $h(u) = u^{-1/5}$, $f(v) = \ln(v)$, и $g(x) = 2x$.
Применим цепное правило последовательно:
1. Производная внешней степенной функции: $(u^{-1/5})' = -\frac{1}{5}u^{-1/5 - 1} = -\frac{1}{5}u^{-6/5}$.
2. Производная логарифмической функции: $(\ln v)' = \frac{1}{v}$.
3. Производная линейной функции: $(2x)' = 2$.
4. Перемножим производные:
$y' = -\frac{1}{5}(\ln(2x))^{-6/5} \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2$.
Сократим двойки:
$y' = -\frac{1}{5x}(\ln(2x))^{-6/5}$.
Вернемся к записи с корнем:
$y' = -\frac{1}{5x(\ln(2x))^{6/5}} = -\frac{1}{5x\sqrt[5]{(\ln(2x))^6}} = -\frac{1}{5x\sqrt[5]{\ln^6(2x)}}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{5x\sqrt[5]{\ln^6(2x)}}$

19.31. a) Докажите, что функция $y = \sqrt{\ln x}$ удовлетворяет уравнению $2xyy' = 1$.

б) Докажите, что функция $y = e^{\frac{1}{x}}$ удовлетворяет уравнению $y + x^2y' = 0$.

а)

Чтобы доказать, что функция $y = \sqrt{\ln x}$ удовлетворяет уравнению $2xyy' = 1$, необходимо найти производную $y'$ и подставить её вместе с исходной функцией $y$ в данное уравнение.

1. Найдем производную функции $y = \sqrt{\ln x}$. Это сложная функция, поэтому будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

$y' = (\sqrt{\ln x})' = \frac{1}{2\sqrt{\ln x}} \cdot (\ln x)' = \frac{1}{2\sqrt{\ln x}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}$.

2. Теперь подставим выражения для $y$ и $y'$ в левую часть уравнения $2xyy' = 1$:

$2xyy' = 2x \cdot (\sqrt{\ln x}) \cdot \left(\frac{1}{2x\sqrt{\ln x}}\right)$.

3. Упростим полученное выражение, сократив множители в числителе и знаменателе:

$\frac{2x\sqrt{\ln x}}{2x\sqrt{\ln x}} = 1$.

В результате мы получили $1$, что равно правой части уравнения. Таким образом, тождество $1 = 1$ доказано, а значит, функция $y = \sqrt{\ln x}$ является решением уравнения $2xyy' = 1$.

Ответ: Доказано.

б)

Чтобы доказать, что функция $y = e^{\frac{1}{x}}$ удовлетворяет уравнению $y + x^2y' = 0$, также найдем производную $y'$ и подставим её и функцию $y$ в уравнение.

1. Найдем производную функции $y = e^{\frac{1}{x}}$ по цепному правилу. Показатель степени является функцией от $x$, поэтому:

$y' = (e^{\frac{1}{x}})' = e^{\frac{1}{x}} \cdot (\frac{1}{x})' = e^{\frac{1}{x}} \cdot (x^{-1})' = e^{\frac{1}{x}} \cdot (-1 \cdot x^{-2}) = e^{\frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$.

2. Подставим полученные выражения для $y$ и $y'$ в левую часть уравнения $y + x^2y' = 0$:

$y + x^2y' = e^{\frac{1}{x}} + x^2 \cdot \left(-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}\right)$.

3. Упростим выражение:

$e^{\frac{1}{x}} - \frac{x^2 e^{\frac{1}{x}}}{x^2} = e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}} = 0$.

В результате мы получили $0$, что равно правой части уравнения. Тождество $0 = 0$ доказано, следовательно, функция $y = e^{\frac{1}{x}}$ удовлетворяет уравнению $y + x^2y' = 0$.

Ответ: Доказано.

19.32. Составьте уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$:

а) $f(x) = x^5 - \ln x, a = 1;$

б) $f(x) = \frac{\ln x}{x^2}, a = 1;$

в) $f(x) = -2x \ln x, a = e;$

г) $f(x) = \sqrt[3]{x} \ln x, a = 1.$

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ определяется формулой:

$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

Для каждого случая необходимо найти значение функции $f(a)$ и значение производной $f'(a)$ в заданной точке.

а) $f(x) = x^5 - \ln x$, $a = 1$

1. Найдем значение функции в точке $a=1$:

$f(1) = 1^5 - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^5 - \ln x)' = 5x^4 - \frac{1}{x}$.

3. Найдем значение производной в точке $a=1$. Это значение является угловым коэффициентом касательной:

$f'(1) = 5 \cdot 1^4 - \frac{1}{1} = 5 - 1 = 4$.

4. Подставим найденные значения $f(1)=1$ и $f'(1)=4$ в уравнение касательной:

$y = 1 + 4(x - 1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y = 1 + 4x - 4$

$y = 4x - 3$

Ответ: $y = 4x - 3$.

б) $f(x) = \frac{\ln x}{x^2}$, $a = 1$

1. Найдем значение функции в точке $a=1$:

$f(1) = \frac{\ln(1)}{1^2} = \frac{0}{1} = 0$.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \left(\frac{\ln x}{x^2}\right)' = \frac{(\ln x)' \cdot x^2 - \ln x \cdot (x^2)'}{(x^2)^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \ln x \cdot 2x}{x^4} = \frac{x - 2x \ln x}{x^4} = \frac{x(1 - 2 \ln x)}{x^4} = \frac{1 - 2 \ln x}{x^3}$.

3. Найдем значение производной в точке $a=1$:

$f'(1) = \frac{1 - 2 \ln(1)}{1^3} = \frac{1 - 2 \cdot 0}{1} = 1$.

4. Подставим найденные значения $f(1)=0$ и $f'(1)=1$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 1(x - 1)$

$y = x - 1$

Ответ: $y = x - 1$.

в) $f(x) = -2x \ln x$, $a = e$

1. Найдем значение функции в точке $a=e$ (здесь $e$ - основание натурального логарифма):

$f(e) = -2e \ln(e) = -2e \cdot 1 = -2e$.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (-2x \ln x)' = (-2x)' \cdot \ln x + (-2x) \cdot (\ln x)' = -2 \ln x - 2x \cdot \frac{1}{x} = -2 \ln x - 2$.

3. Найдем значение производной в точке $a=e$:

$f'(e) = -2 \ln(e) - 2 = -2 \cdot 1 - 2 = -4$.

4. Подставим найденные значения $f(e)=-2e$ и $f'(e)=-4$ в уравнение касательной:

$y = -2e + (-4)(x - e)$

$y = -2e - 4x + 4e$

$y = -4x + 2e$

Ответ: $y = -4x + 2e$.

г) $f(x) = \sqrt[3]{x} \ln x$, $a = 1$

Представим функцию в виде $f(x) = x^{1/3} \ln x$ для удобства дифференцирования.

1. Найдем значение функции в точке $a=1$:

$f(1) = 1^{1/3} \ln(1) = 1 \cdot 0 = 0$.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения:

$f'(x) = (x^{1/3} \ln x)' = (x^{1/3})' \cdot \ln x + x^{1/3} \cdot (\ln x)' = \frac{1}{3}x^{-2/3} \ln x + x^{1/3} \cdot \frac{1}{x} = \frac{\ln x}{3x^{2/3}} + x^{-2/3} = \frac{\ln x}{3\sqrt[3]{x^2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = \frac{\ln x + 3}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

3. Найдем значение производной в точке $a=1$:

$f'(1) = \frac{\ln(1) + 3}{3\sqrt[3]{1^2}} = \frac{0 + 3}{3 \cdot 1} = 1$.

4. Подставим найденные значения $f(1)=0$ и $f'(1)=1$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 1(x - 1)$

$y = x - 1$

Ответ: $y = x - 1$.

19.33. Напишите уравнение той касательной к графику функции $y = f(x)$, которая параллельна прямой $y = kx + m$:

a) $f(x) = \ln(3x + 2)$, $y = x + 7$;

б) $f(x) = \ln(x^2 + x)$, $y = 1.5x + 4$.

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$, параллельной прямой $y = kx + m$, необходимо найти точку касания $(x_0, y_0)$, в которой угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту данной прямой. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Таким образом, необходимо решить уравнение $f'(x_0) = k$. После нахождения $x_0$, вычисляется $y_0 = f(x_0)$, и уравнение касательной записывается в виде $y - y_0 = k(x - x_0)$.

а) Дана функция $f(x) = \ln(3x + 2)$ и прямая $y = x + 7$.

1. Угловой коэффициент прямой $y = x + 7$ равен $k=1$.

2. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\ln(3x + 2))' = \frac{1}{3x+2} \cdot (3x+2)' = \frac{3}{3x+2}$.

3. Найдём абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = k$:

$\frac{3}{3x_0+2} = 1$

$3 = 3x_0 + 2$

$3x_0 = 1$

$x_0 = \frac{1}{3}$.

Эта точка принадлежит области определения функции, так как $3(\frac{1}{3}) + 2 = 3 > 0$.

4. Найдём ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:

$y_0 = f(\frac{1}{3}) = \ln(3 \cdot \frac{1}{3} + 2) = \ln(1+2) = \ln(3)$.

5. Составим уравнение касательной, используя точку касания $(\frac{1}{3}, \ln(3))$ и угловой коэффициент $k=1$:

$y - \ln(3) = 1 \cdot (x - \frac{1}{3})$

$y = x - \frac{1}{3} + \ln(3)$.

Ответ: $y = x - \frac{1}{3} + \ln(3)$.

б) Дана функция $f(x) = \ln(x^2 + x)$ и прямая $y = 1,5x + 4$.

1. Угловой коэффициент прямой $y = 1,5x + 4$ равен $k=1,5$.

2. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\ln(x^2 + x))' = \frac{1}{x^2+x} \cdot (x^2+x)' = \frac{2x+1}{x^2+x}$.

Область определения функции задаётся неравенством $x^2+x > 0$, т.е. $x(x+1) > 0$, что верно при $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.

3. Найдём абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = k$:

$\frac{2x_0+1}{x_0^2+x_0} = 1,5$

$\frac{2x_0+1}{x_0^2+x_0} = \frac{3}{2}$

$2(2x_0+1) = 3(x_0^2+x_0)$

$4x_0+2 = 3x_0^2+3x_0$

$3x_0^2 - x_0 - 2 = 0$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

$x_{0,1} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1+5}{6} = 1$.

$x_{0,2} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1-5}{6} = -\frac{2}{3}$.

4. Проверим, принадлежат ли найденные значения области определения. Корень $x_0 = 1$ принадлежит, так как $1 > 0$. Корень $x_0 = -2/3$ не принадлежит, так как $-1 < -2/3 < 0$. Следовательно, существует только одна точка касания с абсциссой $x_0 = 1$.

5. Найдём ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:

$y_0 = f(1) = \ln(1^2 + 1) = \ln(2)$.

6. Составим уравнение касательной, используя точку касания $(1, \ln(2))$ и угловой коэффициент $k=1,5$:

$y - \ln(2) = 1,5(x - 1)$

$y = 1,5x - 1,5 + \ln(2)$.

Ответ: $y = 1,5x - 1,5 + \ln(2)$.

19.34. Запишите уравнение прямой, которая проходит через начало координат и является касательной к графику функции:

a) $y = \ln x;$

б) $y = \ln x^3.$

а)

Искомая прямая проходит через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Уравнение любой прямой, проходящей через начало координат (кроме вертикальной), имеет вид $y = kx$, где $k$ — ее угловой коэффициент.

С другой стороны, эта прямая является касательной к графику функции $f(x) = \ln x$ в некоторой точке $x_0$. Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Чтобы эта касательная проходила через начало координат, точка $(0, 0)$ должна удовлетворять ее уравнению. Подставим $x=0$ и $y=0$ в уравнение касательной: $0 = f(x_0) + f'(x_0)(0 - x_0)$ $0 = f(x_0) - x_0 f'(x_0)$ Отсюда мы получаем условие для нахождения абсциссы точки касания $x_0$: $f(x_0) = x_0 f'(x_0)$.

Найдем производную функции $f(x) = \ln x$: $f'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

Теперь подставим выражения для $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в полученное нами условие: $\ln x_0 = x_0 \cdot \frac{1}{x_0}$ $\ln x_0 = 1$

Решая это уравнение, находим абсциссу точки касания: $x_0 = e$.

Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной в точке $x_0$: $k = f'(x_0) = f'(e) = \frac{1}{e}$.

Таким образом, уравнение искомой прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом $k = \frac{1}{e}$, имеет вид: $y = \frac{1}{e}x$.

Ответ: $y = \frac{1}{e}x$.

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту. Искомая прямая проходит через начало координат и является касательной к графику функции $g(x) = \ln x^3$. Область определения функции $x^3 > 0 \implies x > 0$. По свойству логарифма, функцию можно упростить: $g(x) = 3 \ln x$.

Условие для нахождения абсциссы точки касания $x_0$ остается тем же: $g(x_0) = x_0 g'(x_0)$.

Найдем производную функции $g(x) = 3 \ln x$: $g'(x) = (3 \ln x)' = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$.

Подставим выражения для $g(x_0)$ и $g'(x_0)$ в условие: $3 \ln x_0 = x_0 \cdot \frac{3}{x_0}$ $3 \ln x_0 = 3$ $\ln x_0 = 1$

Решая уравнение, находим абсциссу точки касания: $x_0 = e$.

Теперь найдем угловой коэффициент $k$ искомой прямой: $k = g'(x_0) = g'(e) = \frac{3}{e}$.

Уравнение прямой, проходящей через начало координат с найденным угловым коэффициентом: $y = \frac{3}{e}x$.

Ответ: $y = \frac{3}{e}x$.

19.35. При каком значении параметра $a$:

а) прямая $y = 3x - 4 + a$ является касательной к графику функции $y = \ln (3x - 4)$;

б) прямая $y = 2x + 3 + a$ является касательной к графику функции $y = \ln (2x + 3)?$

а)

Чтобы прямая $y = 3x - 4 + a$ была касательной к графику функции $f(x) = \ln(3x - 4)$ в некоторой точке $x_0$, должны выполняться два условия:

1. Угловой коэффициент касательной должен быть равен значению производной функции в точке касания $x_0$.
2. Значения функции и касательной в точке $x_0$ должны совпадать.

Угловой коэффициент данной прямой $y = 3x - 4 + a$ равен $k=3$.

Найдем производную функции $f(x) = \ln(3x - 4)$:

$f'(x) = (\ln(3x - 4))' = \frac{1}{3x-4} \cdot (3x-4)' = \frac{3}{3x-4}$.

Приравняем производную к угловому коэффициенту касательной, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$f'(x_0) = 3$

$\frac{3}{3x_0 - 4} = 3$

Разделим обе части уравнения на 3 (при условии $3x_0 - 4 \neq 0$):

$\frac{1}{3x_0 - 4} = 1$

$3x_0 - 4 = 1$

$3x_0 = 5$

$x_0 = \frac{5}{3}$

Проверим, входит ли эта точка в область определения функции $f(x) = \ln(3x-4)$. Область определения задается неравенством $3x-4 > 0$, то есть $x > \frac{4}{3}$. Поскольку $\frac{5}{3} > \frac{4}{3}$, точка $x_0 = \frac{5}{3}$ принадлежит области определения.

Теперь используем второе условие: значения функции и прямой в точке $x_0 = \frac{5}{3}$ должны быть равны.

$f(x_0) = y(x_0)$

$\ln(3x_0 - 4) = 3x_0 - 4 + a$

Подставим значение $x_0 = \frac{5}{3}$:

$\ln(3 \cdot \frac{5}{3} - 4) = 3 \cdot \frac{5}{3} - 4 + a$

$\ln(5 - 4) = 5 - 4 + a$

$\ln(1) = 1 + a$

Так как $\ln(1) = 0$, получаем:

$0 = 1 + a$

$a = -1$

Ответ: $a = -1$.

б)

Аналогично, чтобы прямая $y = 2x + 3 + a$ была касательной к графику функции $f(x) = \ln(2x + 3)$ в точке $x_0$, необходимо, чтобы угловой коэффициент касательной был равен значению производной в этой точке, и чтобы значения функции и прямой в этой точке совпадали.

Угловой коэффициент прямой $y = 2x + 3 + a$ равен $k=2$.

Найдем производную функции $f(x) = \ln(2x + 3)$:

$f'(x) = (\ln(2x + 3))' = \frac{1}{2x+3} \cdot (2x+3)' = \frac{2}{2x+3}$.

Найдем абсциссу точки касания $x_0$, приравняв производную к угловому коэффициенту:

$f'(x_0) = 2$

$\frac{2}{2x_0 + 3} = 2$

$\frac{1}{2x_0 + 3} = 1$

$2x_0 + 3 = 1$

$2x_0 = -2$

$x_0 = -1$

Проверим, входит ли $x_0 = -1$ в область определения функции $f(x) = \ln(2x+3)$. Область определения: $2x+3 > 0$, то есть $x > -\frac{3}{2}$. Так как $-1 > -1.5$, точка $x_0 = -1$ принадлежит области определения.

Теперь приравняем значения функции и прямой в точке $x_0 = -1$:

$f(x_0) = y(x_0)$

$\ln(2x_0 + 3) = 2x_0 + 3 + a$

Подставим $x_0 = -1$:

$\ln(2 \cdot (-1) + 3) = 2 \cdot (-1) + 3 + a$

$\ln(-2 + 3) = -2 + 3 + a$

$\ln(1) = 1 + a$

Поскольку $\ln(1) = 0$, получаем:

$0 = 1 + a$

$a = -1$

Ответ: $a = -1$.