Страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Для функции $y = f(x)$ найдите первообразную:

20.11. a) $f(x) = x^2 + x^{16}$;

б) $f(x) = \frac{1}{2\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{x^2}$;

в) $f(x) = x^{13} + x^{18}$;

г) $f(x) = \frac{4}{\sqrt[4]{x}} - \frac{2}{x\sqrt{x}}$.

а) Дана функция $f(x) = x^2 + x^{16}$.

Чтобы найти первообразную $F(x)$, мы используем основное правило интегрирования для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и правило, согласно которому первообразная суммы функций равна сумме их первообразных.

Найдём первообразную для каждого слагаемого функции по отдельности:

1. Первообразная для $x^2$ вычисляется как $\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$.

2. Первообразная для $x^{16}$ вычисляется как $\int x^{16} dx = \frac{x^{16+1}}{16+1} = \frac{x^{17}}{17}$.

Теперь сложим полученные результаты и добавим произвольную постоянную $C$, так как производная константы равна нулю.

Таким образом, общая первообразная для $f(x)$ имеет вид: $F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^{17}}{17} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^{17}}{17} + C$.

б) Дана функция $f(x) = \frac{1}{2\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{x^2}$.

Для нахождения первообразной сначала преобразуем функцию, представив все члены в виде степеней с рациональными показателями. Используем свойства: $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$ и $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$.

$f(x) = \frac{1}{2x^{1/3}} - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{2}x^{-1/3} - x^{-2}$.

Теперь найдём первообразную для каждого слагаемого, используя то же правило интегрирования степенной функции.

1. Для первого слагаемого $\frac{1}{2}x^{-1/3}$:

$\int \frac{1}{2}x^{-1/3} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-1/3 + 1}}{-1/3 + 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2/3}}{2/3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}x^{2/3} = \frac{3}{4}x^{2/3}$.

2. Для второго слагаемого $-x^{-2}$:

$\int (-x^{-2}) dx = - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = - \frac{x^{-1}}{-1} = x^{-1} = \frac{1}{x}$.

Суммируя результаты и добавляя константу $C$, получаем общую первообразную:

$F(x) = \frac{3}{4}x^{2/3} + \frac{1}{x} + C$.

Результат также можно записать в виде с корнями: $F(x) = \frac{3}{4}\sqrt[3]{x^2} + \frac{1}{x} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{3}{4}\sqrt[3]{x^2} + \frac{1}{x} + C$.

в) Дана функция $f(x) = x^{13} + x^{18}$.

Решение аналогично пункту а). Находим первообразную для суммы двух степенных функций.

1. Первообразная для $x^{13}$ равна $\int x^{13} dx = \frac{x^{13+1}}{13+1} = \frac{x^{14}}{14}$.

2. Первообразная для $x^{18}$ равна $\int x^{18} dx = \frac{x^{18+1}}{18+1} = \frac{x^{19}}{19}$.

Складываем полученные первообразные и добавляем константу интегрирования $C$.

Общая первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ будет: $F(x) = \frac{x^{14}}{14} + \frac{x^{19}}{19} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^{14}}{14} + \frac{x^{19}}{19} + C$.

г) Дана функция $f(x) = \frac{4}{\sqrt[4]{x}} - \frac{2}{x\sqrt{x}}$.

Сначала преобразуем функцию к виду, удобному для интегрирования, используя свойства степеней.

Первое слагаемое: $\frac{4}{\sqrt[4]{x}} = \frac{4}{x^{1/4}} = 4x^{-1/4}$.

Второе слагаемое: $\frac{2}{x\sqrt{x}} = \frac{2}{x^1 \cdot x^{1/2}} = \frac{2}{x^{3/2}} = 2x^{-3/2}$.

Таким образом, функция принимает вид: $f(x) = 4x^{-1/4} - 2x^{-3/2}$.

Находим первообразную для каждого слагаемого.

1. Для первого слагаемого $4x^{-1/4}$:

$\int 4x^{-1/4} dx = 4 \cdot \frac{x^{-1/4 + 1}}{-1/4 + 1} = 4 \cdot \frac{x^{3/4}}{3/4} = 4 \cdot \frac{4}{3}x^{3/4} = \frac{16}{3}x^{3/4}$.

2. Для второго слагаемого $-2x^{-3/2}$:

$\int (-2x^{-3/2}) dx = -2 \cdot \frac{x^{-3/2 + 1}}{-3/2 + 1} = -2 \cdot \frac{x^{-1/2}}{-1/2} = 4x^{-1/2}$.

Суммируем результаты и добавляем константу $C$:

$F(x) = \frac{16}{3}x^{3/4} + 4x^{-1/2} + C$.

Запишем ответ, используя корни и дроби:

$F(x) = \frac{16}{3}\sqrt[4]{x^3} + \frac{4}{\sqrt{x}} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{16}{3}\sqrt[4]{x^3} + \frac{4}{\sqrt{x}} + C$.

20.12. a) $f(x) = -3 \sin x + 2 \cos x;$

б) $f(x) = \frac{4}{\sin^2 x} - \frac{9}{\cos^2 x};$

в) $f(x) = -4 \cos x + \frac{2}{\sin^2 x};$

г) $f(x) = -13 \sin x + \frac{5}{\cos^2 x}.$

а) Для нахождения первообразной функции $f(x) = -3 \sin x + 2 \cos x$ необходимо найти ее интеграл. Первообразная $F(x)$ является общим видом для всех функций, производная которых равна $f(x)$.

Воспользуемся правилом интегрирования суммы и свойством вынесения константы за знак интеграла:

$F(x) = \int (-3 \sin x + 2 \cos x) dx = \int (-3 \sin x) dx + \int (2 \cos x) dx = -3 \int \sin x dx + 2 \int \cos x dx$.

Используя табличные интегралы для тригонометрических функций, где $\int \sin x dx = -\cos x + C$ и $\int \cos x dx = \sin x + C$, получаем:

$F(x) = -3(-\cos x) + 2(\sin x) + C = 3 \cos x + 2 \sin x + C$.

Здесь $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $F(x) = 3 \cos x + 2 \sin x + C$.

б) Для функции $f(x) = \frac{4}{\sin^2 x} - \frac{9}{\cos^2 x}$ находим первообразную $F(x)$ путем интегрирования.

Применяя правила интегрирования, получаем:

$F(x) = \int \left(\frac{4}{\sin^2 x} - \frac{9}{\cos^2 x}\right) dx = 4 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx - 9 \int \frac{1}{\cos^2 x} dx$.

Используя табличные интегралы $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$ и $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$, находим:

$F(x) = 4(-\cot x) - 9(\tan x) + C = -4 \cot x - 9 \tan x + C$.

Здесь $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $F(x) = -4 \cot x - 9 \tan x + C$.

в) Найдем первообразную для функции $f(x) = -4 \cos x + \frac{2}{\sin^2 x}$.

Первообразная $F(x)$ вычисляется как интеграл от данной функции:

$F(x) = \int \left(-4 \cos x + \frac{2}{\sin^2 x}\right) dx = -4 \int \cos x dx + 2 \int \frac{1}{\sin^2 x} dx$.

Применяя табличные интегралы $\int \cos x dx = \sin x + C$ и $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$, находим:

$F(x) = -4(\sin x) + 2(-\cot x) + C = -4 \sin x - 2 \cot x + C$.

Здесь $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $F(x) = -4 \sin x - 2 \cot x + C$.

г) Найдем первообразную для функции $f(x) = -13 \sin x + \frac{5}{\cos^2 x}$.

Интегрируем функцию $f(x)$ для нахождения первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int \left(-13 \sin x + \frac{5}{\cos^2 x}\right) dx = -13 \int \sin x dx + 5 \int \frac{1}{\cos^2 x} dx$.

Используем табличные значения интегралов $\int \sin x dx = -\cos x + C$ и $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$:

$F(x) = -13(-\cos x) + 5(\tan x) + C = 13 \cos x + 5 \tan x + C$.

Здесь $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $F(x) = 13 \cos x + 5 \tan x + C$.

20.13. a) $f(x) = \sin \left( 3x + \frac{\pi}{6} \right)$;

б) $f(x) = \frac{1}{2 - 5x}$;

в) $f(x) = \cos (4x - 3)$;

г) $f(x) = 2^{3 - \frac{x}{2}}$.

а) Для нахождения производной функции $f(x) = \sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right)$ используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Данная функция является композицией двух функций: внешней $g(u) = \sin(u)$ и внутренней $u(x) = 3x + \frac{\pi}{6}$.
Производная сложной функции находится по формуле $f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$.
Сначала найдем производные внешней и внутренней функций:
Производная внешней функции: $g'(u) = (\sin(u))' = \cos(u)$.
Производная внутренней функции: $u'(x) = \left(3x + \frac{\pi}{6}\right)' = 3$.
Теперь подставим найденные производные в формулу цепного правила:
$f'(x) = \cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) \cdot 3 = 3\cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right)$.
Ответ: $f'(x) = 3\cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right)$.

б) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{1}{2 - 5x}$ представим ее в виде степенной функции $f(x) = (2 - 5x)^{-1}$ и воспользуемся цепным правилом. Здесь внешняя функция $g(u) = u^{-1}$, а внутренняя $u(x) = 2 - 5x$.
Формула производной сложной функции: $f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$.
Найдем производные:
$g'(u) = (u^{-1})' = -1 \cdot u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$.
$u'(x) = (2 - 5x)' = -5$.
Подставляем в формулу:
$f'(x) = -\frac{1}{(2 - 5x)^2} \cdot (-5) = \frac{5}{(2 - 5x)^2}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{5}{(2 - 5x)^2}$.

в) Для нахождения производной функции $f(x) = \cos(4x - 3)$ применим цепное правило. Внешняя функция $g(u) = \cos(u)$, внутренняя функция $u(x) = 4x - 3$.
Производная находится по формуле $f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$.
Найдем производные составляющих функций:
$g'(u) = (\cos(u))' = -\sin(u)$.
$u'(x) = (4x - 3)' = 4$.
Применяем цепное правило:
$f'(x) = -\sin(4x - 3) \cdot 4 = -4\sin(4x - 3)$.
Ответ: $f'(x) = -4\sin(4x - 3)$.

г) Для нахождения производной функции $f(x) = 2^{3 - \frac{x}{2}}$ используем правило дифференцирования показательной функции и цепное правило. Внешняя функция $g(u) = 2^u$, внутренняя функция $u(x) = 3 - \frac{x}{2}$.
Производная сложной функции: $f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$.
Найдем производные. Производная показательной функции $(a^u)' = a^u \ln(a)$.
$g'(u) = (2^u)' = 2^u \ln(2)$.
$u'(x) = \left(3 - \frac{x}{2}\right)' = -\frac{1}{2}$.
Подставляем найденные производные в формулу:
$f'(x) = \left(2^{3 - \frac{x}{2}} \ln(2)\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\ln(2)}{2} \cdot 2^{3 - \frac{x}{2}}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{\ln(2)}{2} \cdot 2^{3 - \frac{x}{2}}$.

20.14. a) $f(x) = -\frac{1}{(6x + 1)^2}$;

Б) $f(x) = \frac{1}{(8x - 3)^2}$;

В) $f(x) = \frac{1}{(7x - 3)^2}$;

Г) $f(x) = -\frac{1}{(10x + 2)^2}$.

а) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = -\frac{1}{(6x + 1)^2}$.
Перепишем функцию в виде степенной: $f(x) = -(6x+1)^{-2}$.
Для нахождения первообразной $F(x)$ воспользуемся общей формулой для интегрирования степенной функции со сложным линейным аргументом: $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
В данном случае, коэффициент перед $x$ равен $k=6$, свободный член $b=1$, а показатель степени $n=-2$.
Подставляем эти значения в формулу:
$F(x) = \int -(6x+1)^{-2} dx = - \int (6x+1)^{-2} dx = - \left( \frac{1}{6} \cdot \frac{(6x+1)^{-2+1}}{-2+1} \right) + C$
$F(x) = - \left( \frac{1}{6} \cdot \frac{(6x+1)^{-1}}{-1} \right) + C = \frac{1}{6} (6x+1)^{-1} + C = \frac{1}{6(6x+1)} + C$.
Проверим полученный результат путем дифференцирования:
$F'(x) = \left( \frac{1}{6(6x+1)} + C \right)' = \left( \frac{1}{6}(6x+1)^{-1} \right)' = \frac{1}{6} \cdot (-1)(6x+1)^{-2} \cdot (6x+1)' = -\frac{1}{6} (6x+1)^{-2} \cdot 6 = -(6x+1)^{-2} = -\frac{1}{(6x+1)^2} = f(x)$.
Производная найденной первообразной совпадает с исходной функцией, следовательно, решение верное.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{6(6x+1)} + C$.

б) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{(8x - 3)^2}$.
Перепишем функцию в виде $f(x) = (8x-3)^{-2}$.
Используем ту же формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.
Здесь $k=8$, $b=-3$, $n=-2$.
$F(x) = \int (8x-3)^{-2} dx = \frac{1}{8} \cdot \frac{(8x-3)^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{1}{8} \cdot \frac{(8x-3)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{8(8x-3)} + C$.
Проверка:
$F'(x) = \left( -\frac{1}{8(8x-3)} + C \right)' = \left( -\frac{1}{8}(8x-3)^{-1} \right)' = -\frac{1}{8} \cdot (-1)(8x-3)^{-2} \cdot (8x-3)' = \frac{1}{8}(8x-3)^{-2} \cdot 8 = (8x-3)^{-2} = \frac{1}{(8x-3)^2} = f(x)$.
Результат проверки подтверждает правильность решения.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{8(8x-3)} + C$.

в) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{(7x - 3)^2}$.
Представим функцию в виде $f(x) = (7x-3)^{-2}$.
Применяем формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$ с параметрами $k=7$, $b=-3$, $n=-2$.
$F(x) = \int (7x-3)^{-2} dx = \frac{1}{7} \cdot \frac{(7x-3)^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{1}{7} \cdot \frac{(7x-3)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{7(7x-3)} + C$.
Проверка:
$F'(x) = \left( -\frac{1}{7(7x-3)} + C \right)' = \left( -\frac{1}{7}(7x-3)^{-1} \right)' = -\frac{1}{7} \cdot (-1)(7x-3)^{-2} \cdot (7x-3)' = \frac{1}{7}(7x-3)^{-2} \cdot 7 = (7x-3)^{-2} = \frac{1}{(7x-3)^2} = f(x)$.
Решение является верным.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{7(7x-3)} + C$.

г) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = -\frac{1}{(10x + 2)^2}$.
Представим функцию как $f(x) = -(10x+2)^{-2}$.
Используем формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$ с параметрами $k=10$, $b=2$, $n=-2$.
$F(x) = \int -(10x+2)^{-2} dx = - \left( \frac{1}{10} \frac{(10x+2)^{-2+1}}{-2+1} \right) + C = - \left( \frac{1}{10} \frac{(10x+2)^{-1}}{-1} \right) + C = \frac{1}{10(10x+2)} + C$.
Выражение можно упростить, вынеся общий множитель 2 в знаменателе:
$F(x) = \frac{1}{10 \cdot 2(5x+1)} + C = \frac{1}{20(5x+1)} + C$.
Для проверки сначала упростим исходную функцию:
$f(x) = -\frac{1}{(10x+2)^2} = -\frac{1}{(2(5x+1))^2} = -\frac{1}{4(5x+1)^2}$.
Теперь найдем производную от упрощенной первообразной $F(x) = \frac{1}{20(5x+1)} + C$:
$F'(x) = \left( \frac{1}{20}(5x+1)^{-1} \right)' = \frac{1}{20} \cdot (-1)(5x+1)^{-2} \cdot (5x+1)' = -\frac{1}{20}(5x+1)^{-2} \cdot 5 = -\frac{5}{20}(5x+1)^{-2} = -\frac{1}{4(5x+1)^2}$.
Результат совпадает с упрощенным видом функции $f(x)$, следовательно, решение верно.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{20(5x+1)} + C$.

20.15. a) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{7x - 9}}$;

б) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3x}}$.

а)

Область определения функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{7x - 9}}$ задается условием, при котором выражение, стоящее в знаменателе под знаком квадратного корня, должно быть строго больше нуля. Это связано с двумя ограничениями: во-первых, подкоренное выражение не может быть отрицательным ($7x - 9 \ge 0$), а во-вторых, знаменатель не может быть равен нулю ($\sqrt{7x - 9} \ne 0$). Объединение этих условий дает одно строгое неравенство.

Решим это неравенство:
$7x - 9 > 0$
Перенесем -9 в правую часть с противоположным знаком:
$7x > 9$
Разделим обе части на 7:
$x > \frac{9}{7}$

Таким образом, область определения функции — это числовой промежуток $(\frac{9}{7}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{9}{7}; +\infty)$.

б)

Аналогично, для нахождения области определения функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3x}}$ необходимо, чтобы подкоренное выражение в знаменателе было строго положительным.

Составим и решим соответствующее неравенство:
$42 - 3x > 0$
Перенесем 42 в правую часть:
$-3x > -42$
Разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{-42}{-3}$
$x < 14$

Следовательно, область определения функции — это числовой промежуток $(-\infty; 14)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 14)$.

20.16. a) $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x;$

Б) $f(x) = 1 + \text{tg}^2 x;$

В) $f(x) = \sin x \cos x;$

Г) $f(x) = 2 + \text{ctg}^2 2x.$

Предполагается, что задача состоит в нахождении производной для каждой из данных функций. Для этого мы сначала упростим выражения, используя тригонометрические тождества, а затем найдем их производные.

а) $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$

Для упрощения функции воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Применив это тождество к нашей функции, получаем:

$f(x) = 1$.

Теперь найдем производную. Производная от константы равна нулю.

$f'(x) = (1)' = 0$.

Ответ: $f'(x) = 0$.

б) $f(x) = 1 + \text{tg}^2 x$

Используем тригонометрическое тождество: $1 + \text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Таким образом, функция принимает вид:

$f(x) = \frac{1}{\cos^2 x} = (\cos x)^{-2}$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции и сложной функции. Пусть $u = \cos x$, тогда $f(u) = u^{-2}$.

$f'(x) = ((\cos x)^{-2})' = -2(\cos x)^{-2-1} \cdot (\cos x)' = -2(\cos x)^{-3} \cdot (-\sin x)$.

Упростим полученное выражение:

$f'(x) = \frac{2 \sin x}{\cos^3 x}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{2 \sin x}{\cos^3 x}$.

в) $f(x) = \sin x \cos x$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Из этой формулы следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)$.

Функция может быть переписана в виде:

$f(x) = \frac{1}{2} \sin(2x)$.

Найдем производную этой функции, используя правило дифференцирования сложной функции и вынесение константы за знак производной:

$f'(x) = \left(\frac{1}{2} \sin(2x)\right)' = \frac{1}{2} (\sin(2x))' = \frac{1}{2} \cos(2x) \cdot (2x)' = \frac{1}{2} \cos(2x) \cdot 2$.

После сокращения получаем:

$f'(x) = \cos(2x)$.

Ответ: $f'(x) = \cos(2x)$.

г) $f(x) = 2 + \text{ctg}^2 2x$

Сначала преобразуем функцию, используя тригонометрическое тождество $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.

$f(x) = 1 + (1 + \text{ctg}^2 2x)$.

Применяя тождество для $\alpha = 2x$, получаем:

$f(x) = 1 + \frac{1}{\sin^2 2x} = 1 + (\sin 2x)^{-2}$.

Теперь найдем производную от полученной функции, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (1 + (\sin 2x)^{-2})' = (1)' + ((\sin 2x)^{-2})' = 0 - 2(\sin 2x)^{-3} \cdot (\sin 2x)'$.

Производная от $\sin(2x)$ равна $\cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$. Подставим это в наше выражение:

$f'(x) = -2(\sin 2x)^{-3} \cdot (2\cos(2x))$.

Упростим и запишем в виде дроби:

$f'(x) = -\frac{4 \cos(2x)}{\sin^3(2x)}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{4 \cos(2x)}{\sin^3(2x)}$.

○20.17.

a) $f(x) = \sin x \cos 6x + \cos x \sin 6x;$

б) $f(x) = \sin^2 5x;$

в) $f(x) = \cos 6x \cos x + \sin 6x \sin x;$

г) $f(x) = \sin 5x \cos x.$

а) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \sin x \cos 6x + \cos x \sin 6x$ сначала упростим выражение, используя тригонометрическую формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.
В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = 6x$, поэтому:
$f(x) = \sin(x + 6x) = \sin(7x)$.
Теперь найдем первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \sin(7x)$. Первообразная находится путем интегрирования:
$F(x) = \int \sin(7x) \,dx = -\frac{1}{7}\cos(7x) + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{7}\cos(7x) + C$.

б) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \sin^2 5x$ воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.
Применим эту формулу для $\alpha = 5x$:
$f(x) = \frac{1 - \cos(2 \cdot 5x)}{2} = \frac{1 - \cos(10x)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(10x)$.
Теперь найдем первообразную $F(x)$, интегрируя полученное выражение:
$F(x) = \int \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(10x)\right) \,dx = \int \frac{1}{2} \,dx - \frac{1}{2}\int \cos(10x) \,dx$.
$F(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10}\sin(10x) + C = \frac{1}{2}x - \frac{1}{20}\sin(10x) + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{20}\sin(10x) + C$.

в) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \cos 6x \cos x + \sin 6x \sin x$ используем тригонометрическую формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.
В данном случае $\alpha = 6x$ и $\beta = x$, следовательно:
$f(x) = \cos(6x - x) = \cos(5x)$.
Теперь найдем первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \cos(5x)$.
$F(x) = \int \cos(5x) \,dx = \frac{1}{5}\sin(5x) + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{5}\sin(5x) + C$.

г) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \sin 5x \cos x$ применим формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$.
Здесь $\alpha = 5x$ и $\beta = x$, поэтому:
$f(x) = \frac{1}{2}(\sin(5x+x) + \sin(5x-x)) = \frac{1}{2}(\sin(6x) + \sin(4x))$.
Теперь найдем первообразную $F(x)$, интегрируя это выражение:
$F(x) = \int \frac{1}{2}(\sin(6x) + \sin(4x)) \,dx = \frac{1}{2} \int \sin(6x) \,dx + \frac{1}{2} \int \sin(4x) \,dx$.
$F(x) = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{6}\cos(6x)\right) + \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{4}\cos(4x)\right) + C = -\frac{1}{12}\cos(6x) - \frac{1}{8}\cos(4x) + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{12}\cos(6x) - \frac{1}{8}\cos(4x) + C$.

20.18. Найдите функцию $y = f(x)$, удовлетворяющую заданному условию (дифференциальному уравнению):

а) $y' = x^4 - 3x^2;$

б) $y' = \sin x + 1;$

в) $y' = x^{12} - 8x^7;$

г) $y' = \cos x - 9.$

Чтобы найти функцию $y = f(x)$, зная ее производную $y'$, необходимо найти первообразную для выражения, которому равна производная. Это достигается путем интегрирования.

а) $y' = x^4 - 3x^2$

Для нахождения функции $y$ проинтегрируем правую часть уравнения по $x$:

$y = \int (x^4 - 3x^2) dx$

Используем свойство линейности интеграла, которое позволяет интегрировать каждое слагаемое по отдельности:

$y = \int x^4 dx - \int 3x^2 dx$

Применим формулу для интеграла от степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{x^5}{5}$

$\int 3x^2 dx = 3 \cdot \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$

Объединяя результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем общее решение:

$y = \frac{x^5}{5} - x^3 + C$

Ответ: $y = \frac{x^5}{5} - x^3 + C$.

б) $y' = \sin x + 1$

Для нахождения функции $y$ проинтегрируем правую часть уравнения по $x$:

$y = \int (\sin x + 1) dx$

Разбиваем интеграл на сумму двух интегралов:

$y = \int \sin x dx + \int 1 dx$

Используем табличные интегралы: $\int \sin x dx = -\cos x$ и $\int 1 dx = x$.

Складывая результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем:

$y = -\cos x + x + C$

Ответ: $y = -\cos x + x + C$.

в) $y' = x^{12} - 8x^7$

Для нахождения функции $y$ проинтегрируем правую часть уравнения по $x$:

$y = \int (x^{12} - 8x^7) dx$

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

$y = \int x^{12} dx - \int 8x^7 dx$

Используем формулу для интеграла от степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int x^{12} dx = \frac{x^{12+1}}{12+1} = \frac{x^{13}}{13}$

$\int 8x^7 dx = 8 \cdot \int x^7 dx = 8 \cdot \frac{x^{7+1}}{7+1} = 8 \cdot \frac{x^8}{8} = x^8$

Объединяя результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем:

$y = \frac{x^{13}}{13} - x^8 + C$

Ответ: $y = \frac{x^{13}}{13} - x^8 + C$.

г) $y' = \cos x - 9$

Для нахождения функции $y$ проинтегрируем правую часть уравнения по $x$:

$y = \int (\cos x - 9) dx$

Разбиваем интеграл на разность двух интегралов:

$y = \int \cos x dx - \int 9 dx$

Используем табличные интегралы: $\int \cos x dx = \sin x$ и $\int k dx = kx$.

Складывая результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем:

$y = \sin x - 9x + C$

Ответ: $y = \sin x - 9x + C$.