Номер 20.14, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.14, страница 126.

20.14. a) $f(x) = -\frac{1}{(6x + 1)^2}$;

Б) $f(x) = \frac{1}{(8x - 3)^2}$;

В) $f(x) = \frac{1}{(7x - 3)^2}$;

Г) $f(x) = -\frac{1}{(10x + 2)^2}$.

а) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = -\frac{1}{(6x + 1)^2}$.
Перепишем функцию в виде степенной: $f(x) = -(6x+1)^{-2}$.
Для нахождения первообразной $F(x)$ воспользуемся общей формулой для интегрирования степенной функции со сложным линейным аргументом: $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ - произвольная постоянная.
В данном случае, коэффициент перед $x$ равен $k=6$, свободный член $b=1$, а показатель степени $n=-2$.
Подставляем эти значения в формулу:
$F(x) = \int -(6x+1)^{-2} dx = - \int (6x+1)^{-2} dx = - \left( \frac{1}{6} \cdot \frac{(6x+1)^{-2+1}}{-2+1} \right) + C$
$F(x) = - \left( \frac{1}{6} \cdot \frac{(6x+1)^{-1}}{-1} \right) + C = \frac{1}{6} (6x+1)^{-1} + C = \frac{1}{6(6x+1)} + C$.
Проверим полученный результат путем дифференцирования:
$F'(x) = \left( \frac{1}{6(6x+1)} + C \right)' = \left( \frac{1}{6}(6x+1)^{-1} \right)' = \frac{1}{6} \cdot (-1)(6x+1)^{-2} \cdot (6x+1)' = -\frac{1}{6} (6x+1)^{-2} \cdot 6 = -(6x+1)^{-2} = -\frac{1}{(6x+1)^2} = f(x)$.
Производная найденной первообразной совпадает с исходной функцией, следовательно, решение верное.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{6(6x+1)} + C$.

б) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{(8x - 3)^2}$.
Перепишем функцию в виде $f(x) = (8x-3)^{-2}$.
Используем ту же формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.
Здесь $k=8$, $b=-3$, $n=-2$.
$F(x) = \int (8x-3)^{-2} dx = \frac{1}{8} \cdot \frac{(8x-3)^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{1}{8} \cdot \frac{(8x-3)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{8(8x-3)} + C$.
Проверка:
$F'(x) = \left( -\frac{1}{8(8x-3)} + C \right)' = \left( -\frac{1}{8}(8x-3)^{-1} \right)' = -\frac{1}{8} \cdot (-1)(8x-3)^{-2} \cdot (8x-3)' = \frac{1}{8}(8x-3)^{-2} \cdot 8 = (8x-3)^{-2} = \frac{1}{(8x-3)^2} = f(x)$.
Результат проверки подтверждает правильность решения.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{8(8x-3)} + C$.

в) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{(7x - 3)^2}$.
Представим функцию в виде $f(x) = (7x-3)^{-2}$.
Применяем формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$ с параметрами $k=7$, $b=-3$, $n=-2$.
$F(x) = \int (7x-3)^{-2} dx = \frac{1}{7} \cdot \frac{(7x-3)^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{1}{7} \cdot \frac{(7x-3)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{7(7x-3)} + C$.
Проверка:
$F'(x) = \left( -\frac{1}{7(7x-3)} + C \right)' = \left( -\frac{1}{7}(7x-3)^{-1} \right)' = -\frac{1}{7} \cdot (-1)(7x-3)^{-2} \cdot (7x-3)' = \frac{1}{7}(7x-3)^{-2} \cdot 7 = (7x-3)^{-2} = \frac{1}{(7x-3)^2} = f(x)$.
Решение является верным.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{7(7x-3)} + C$.

г) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = -\frac{1}{(10x + 2)^2}$.
Представим функцию как $f(x) = -(10x+2)^{-2}$.
Используем формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$ с параметрами $k=10$, $b=2$, $n=-2$.
$F(x) = \int -(10x+2)^{-2} dx = - \left( \frac{1}{10} \frac{(10x+2)^{-2+1}}{-2+1} \right) + C = - \left( \frac{1}{10} \frac{(10x+2)^{-1}}{-1} \right) + C = \frac{1}{10(10x+2)} + C$.
Выражение можно упростить, вынеся общий множитель 2 в знаменателе:
$F(x) = \frac{1}{10 \cdot 2(5x+1)} + C = \frac{1}{20(5x+1)} + C$.
Для проверки сначала упростим исходную функцию:
$f(x) = -\frac{1}{(10x+2)^2} = -\frac{1}{(2(5x+1))^2} = -\frac{1}{4(5x+1)^2}$.
Теперь найдем производную от упрощенной первообразной $F(x) = \frac{1}{20(5x+1)} + C$:
$F'(x) = \left( \frac{1}{20}(5x+1)^{-1} \right)' = \frac{1}{20} \cdot (-1)(5x+1)^{-2} \cdot (5x+1)' = -\frac{1}{20}(5x+1)^{-2} \cdot 5 = -\frac{5}{20}(5x+1)^{-2} = -\frac{1}{4(5x+1)^2}$.
Результат совпадает с упрощенным видом функции $f(x)$, следовательно, решение верно.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{20(5x+1)} + C$.