Номер 20.19, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.19, страница 127.

20.19. Найдите функцию $y = f(x)$, удовлетворяющую заданному условию (дифференциальному уравнению):

a) $y' = \frac{13}{x^2} + x;$

в) $y' = \frac{4}{x^2} - 4x;$

б) $y' = -\frac{9}{x^2} + \sin x;$

г) $y' = -\frac{5}{x^2} - \cos x.$

а)

Чтобы найти функцию $y = f(x)$, необходимо найти первообразную (проинтегрировать) для её производной $y'$.

Дано дифференциальное уравнение: $y' = \frac{13}{x^2} + x$.

Интегрируем правую часть уравнения по переменной $x$:

$y = \int \left( \frac{13}{x^2} + x \right) dx = \int 13x^{-2} dx + \int x^1 dx$

Используем формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int 13x^{-2} dx = 13 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = 13 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -13x^{-1} = -\frac{13}{x}$

$\int x^1 dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$

Суммируя полученные выражения и добавляя константу интегрирования $C$, получаем общее решение:

$y = -\frac{13}{x} + \frac{x^2}{2} + C$

Ответ: $y = -\frac{13}{x} + \frac{x^2}{2} + C$.

б)

Дано дифференциальное уравнение: $y' = -\frac{9}{x^2} + \sin x$.

Чтобы найти $y(x)$, интегрируем правую часть уравнения:

$y = \int \left( -\frac{9}{x^2} + \sin x \right) dx = \int (-9x^{-2}) dx + \int \sin x dx$

Используем табличные интегралы: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и $\int \sin x dx = -\cos x + C$.

$\int (-9x^{-2}) dx = -9 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = -9 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = 9x^{-1} = \frac{9}{x}$

$\int \sin x dx = -\cos x$

Складываем результаты и добавляем константу интегрирования $C$:

$y = \frac{9}{x} - \cos x + C$

Ответ: $y = \frac{9}{x} - \cos x + C$.

в)

Дано дифференциальное уравнение: $y' = \frac{4}{x^2} - 4x$.

Находим функцию $y(x)$ путем интегрирования:

$y = \int \left( \frac{4}{x^2} - 4x \right) dx = \int 4x^{-2} dx - \int 4x dx$

Используем формулу для интегрирования степенной функции:

$\int 4x^{-2} dx = 4 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = 4 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -4x^{-1} = -\frac{4}{x}$

$\int 4x dx = 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2$

Объединяем результаты и добавляем константу интегрирования $C$:

$y = -\frac{4}{x} - 2x^2 + C$

Ответ: $y = -\frac{4}{x} - 2x^2 + C$.

г)

Дано дифференциальное уравнение: $y' = -\frac{5}{x^2} - \cos x$.

Интегрируем правую часть для нахождения $y(x)$:

$y = \int \left( -\frac{5}{x^2} - \cos x \right) dx = \int (-5x^{-2}) dx - \int \cos x dx$

Используем табличные интегралы: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и $\int \cos x dx = \sin x + C$.

$\int (-5x^{-2}) dx = -5 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = -5 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = 5x^{-1} = \frac{5}{x}$

$\int \cos x dx = \sin x$

Объединяем результаты и добавляем константу интегрирования $C$:

$y = \frac{5}{x} - \sin x + C$

Ответ: $y = \frac{5}{x} - \sin x + C$.