Номер 20.24, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.24, страница 128.

ο20.24.

a) $y = \sin\frac{x}{6}\cos\frac{5x}{6} + \cos\frac{x}{6}\sin\frac{5x}{6}$, $M\left(\frac{3\pi}{4}; 21\right)$;

б) $y = \cos\frac{x}{5}\cos\frac{4x}{5} - \sin\frac{x}{5}\sin\frac{4x}{5}$, $M\left(\frac{5\pi}{6}; -9\right)$;

в) $y = \sin\frac{7x}{6}\cos\frac{x}{6} - \sin\frac{x}{6}\cos\frac{7x}{6}$, $M\left(-\frac{3\pi}{4}; 10\right)$;

г) $y = \cos\frac{13x}{11}\cos\frac{2x}{11} + \sin\frac{13x}{11}\sin\frac{2x}{11}$, $M\left(\frac{2\pi}{3}; -6\right)$.

а) Чтобы проверить, принадлежит ли точка $M(\frac{3\pi}{4}; 21)$ графику функции $y = \sin\frac{x}{6}\cos\frac{5x}{6} + \cos\frac{x}{6}\sin\frac{5x}{6}$, мы сначала упростим данное тригонометрическое выражение. Используем формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
В данном случае $\alpha = \frac{x}{6}$ и $\beta = \frac{5x}{6}$.
Тогда функция принимает вид:
$y = \sin(\frac{x}{6} + \frac{5x}{6}) = \sin(\frac{6x}{6}) = \sin(x)$.
Теперь подставим координаты точки $M$ в упрощенное уравнение функции. Абсцисса точки $x = \frac{3\pi}{4}$. Найдем соответствующее значение $y$:
$y = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сравним полученное значение с ординатой точки $M$, которая равна 21.
Поскольку $\frac{\sqrt{2}}{2} \neq 21$, точка $M$ не принадлежит графику данной функции.
Ответ: точка M не принадлежит графику функции.

б) Проверим, принадлежит ли точка $M(\frac{5\pi}{6}; -9)$ графику функции $y = \cos\frac{x}{5}\cos\frac{4x}{5} - \sin\frac{x}{5}\sin\frac{4x}{5}$.
Упростим выражение для функции, используя формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
Здесь $\alpha = \frac{x}{5}$ и $\beta = \frac{4x}{5}$.
Функция упрощается до:
$y = \cos(\frac{x}{5} + \frac{4x}{5}) = \cos(\frac{5x}{5}) = \cos(x)$.
Подставим абсциссу точки $M$, $x = \frac{5\pi}{6}$, в полученное уравнение:
$y = \cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ордината точки $M$ равна -9.
Так как $-\frac{\sqrt{3}}{2} \neq -9$, точка $M$ не лежит на графике данной функции.
Ответ: точка M не принадлежит графику функции.

в) Определим, принадлежит ли точка $M(-\frac{3\pi}{4}; 10)$ графику функции $y = \sin\frac{7x}{6}\cos\frac{x}{6} - \sin\frac{x}{6}\cos\frac{7x}{6}$.
Выражение для функции можно упростить, применив формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.
В нашем случае $\alpha = \frac{7x}{6}$ и $\beta = \frac{x}{6}$.
Таким образом, функция имеет вид:
$y = \sin(\frac{7x}{6} - \frac{x}{6}) = \sin(\frac{6x}{6}) = \sin(x)$.
Подставим абсциссу точки $M$, $x = -\frac{3\pi}{4}$, в это уравнение:
$y = \sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\sin(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сравним вычисленное значение $y$ с ординатой точки $M$, равной 10.
Поскольку $-\frac{\sqrt{2}}{2} \neq 10$, точка $M$ не принадлежит графику функции.
Ответ: точка M не принадлежит графику функции.

г) Проверим принадлежность точки $M(\frac{2\pi}{3}; -6)$ графику функции $y = \cos\frac{13x}{11}\cos\frac{2x}{11} + \sin\frac{13x}{11}\sin\frac{2x}{11}$.
Упростим функцию с помощью формулы косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.
Здесь $\alpha = \frac{13x}{11}$ и $\beta = \frac{2x}{11}$.
Функция преобразуется к виду:
$y = \cos(\frac{13x}{11} - \frac{2x}{11}) = \cos(\frac{11x}{11}) = \cos(x)$.
Теперь подставим абсциссу точки $M$, $x = \frac{2\pi}{3}$, в упрощенное уравнение:
$y = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Ордината точки $M$ равна -6.
Так как $-\frac{1}{2} \neq -6$, точка $M$ не находится на графике данной функции.
Ответ: точка M не принадлежит графику функции.