Номер 20.25, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.25, страница 128.

Для функции $y = f(x)$ найдите первообразную $y = F(x)$, которая принимает данное значение в указанной точке:

20.25. а) $f(x) = x^5 + 3x^2$, $F(0) = -16$;

б) $f(x) = 14 \sin x$, $F\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 23$;

в) $f(x) = 10e^{5x-4}$, $F(0,8) = 5$;

г) $f(x) = \frac{1}{2 - 3x}$, $F\left(\frac{1}{3}\right) = 1$.

а)

Для функции $f(x) = x^5 + 3x^2$ найдем ее общий вид первообразной $F(x)$. Первообразная функции является ее неопределенным интегралом. $F(x) = \int (x^5 + 3x^2) dx = \int x^5 dx + \int 3x^2 dx$.
Используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем: $F(x) = \frac{x^{5+1}}{5+1} + 3 \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^6}{6} + 3 \frac{x^3}{3} + C = \frac{x^6}{6} + x^3 + C$.
Здесь $C$ — произвольная постоянная.

Чтобы найти конкретную первообразную, используем заданное условие $F(0) = -16$. Подставим $x=0$ в выражение для $F(x)$: $F(0) = \frac{0^6}{6} + 0^3 + C = -16$.
Отсюда $0 + 0 + C = -16$, что означает $C = -16$.

Подставляем найденное значение $C$ в общую формулу первообразной: $F(x) = \frac{x^6}{6} + x^3 - 16$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^6}{6} + x^3 - 16$.

б)

Для функции $f(x) = 14 \sin x$ найдем ее общий вид первообразной $F(x)$. $F(x) = \int 14 \sin x dx = 14 \int \sin x dx$.
Используя табличный интеграл $\int \sin x dx = -\cos x + C$, получаем: $F(x) = 14(-\cos x) + C = -14 \cos x + C$.

Используем заданное условие $F(\frac{3\pi}{2}) = 23$. Подставим $x = \frac{3\pi}{2}$ в выражение для $F(x)$: $F(\frac{3\pi}{2}) = -14 \cos(\frac{3\pi}{2}) + C = 23$.
Так как $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$, то уравнение принимает вид: $-14 \cdot 0 + C = 23$, откуда $C = 23$.

Подставляем найденное значение $C$: $F(x) = -14 \cos x + 23$.

Ответ: $F(x) = -14 \cos x + 23$.

в)

Для функции $f(x) = 10e^{5x-4}$ найдем ее общий вид первообразной $F(x)$. $F(x) = \int 10e^{5x-4} dx = 10 \int e^{5x-4} dx$.
Используя формулу для интеграла от экспоненциальной функции $\int e^{kx+b} dx = \frac{1}{k} e^{kx+b} + C$, где $k=5$ и $b=-4$: $F(x) = 10 \cdot \frac{1}{5} e^{5x-4} + C = 2e^{5x-4} + C$.

Используем заданное условие $F(0,8) = 5$. Подставим $x=0,8$ в выражение для $F(x)$: $F(0,8) = 2e^{5 \cdot 0,8 - 4} + C = 5$.
$2e^{4 - 4} + C = 5$.
$2e^0 + C = 5$.
Так как $e^0 = 1$, то $2 \cdot 1 + C = 5$, откуда $C = 5 - 2 = 3$.

Подставляем найденное значение $C$: $F(x) = 2e^{5x-4} + 3$.

Ответ: $F(x) = 2e^{5x-4} + 3$.

г)

Для функции $f(x) = \frac{1}{2-3x}$ найдем ее общий вид первообразной $F(x)$. $F(x) = \int \frac{1}{2-3x} dx$.
Используя формулу для интеграла вида $\int \frac{dx}{kx+b} = \frac{1}{k} \ln|kx+b| + C$, где $k=-3$ и $b=2$: $F(x) = \frac{1}{-3} \ln|2-3x| + C = -\frac{1}{3} \ln|2-3x| + C$.

Используем заданное условие $F(\frac{1}{3}) = 1$. Подставим $x=\frac{1}{3}$ в выражение для $F(x)$: $F(\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3} \ln|2 - 3 \cdot \frac{1}{3}| + C = 1$.
$-\frac{1}{3} \ln|2 - 1| + C = 1$.
$-\frac{1}{3} \ln|1| + C = 1$.
Так как $\ln(1) = 0$, то $-\frac{1}{3} \cdot 0 + C = 1$, откуда $C = 1$.

Подставляем найденное значение $C$: $F(x) = -\frac{1}{3} \ln|2-3x| + 1$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3} \ln|2-3x| + 1$.