Номер 20.30, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.30, страница 129.

○20.30. Найдите ту первообразную для функции $y = f(x)$, областью значений которой является луч $(-\infty; 4]$:

a) $f(x) = 7 - 6x$;

б) $f(x) = 3 - 2x$.

а) f(x) = 7 - 6x;

Первообразной для функции $f(x)$ является функция $F(x)$, такая что $F'(x) = f(x)$. Найдем общий вид первообразной для данной функции:

$F(x) = \int (7 - 6x) dx = 7x - 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C = -3x^2 + 7x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Графиком функции $F(x) = -3x^2 + 7x + C$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-3$, он отрицателен, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Областью значений такой функции является промежуток $(-\infty; y_{верш}]$, где $y_{верш}$ — ордината вершины параболы.

По условию, область значений первообразной — это луч $(-\infty; 4]$. Значит, максимальное значение функции $F(x)$ равно 4, то есть $y_{верш} = 4$.

Найдем координаты вершины параболы $F(x) = ax^2+bx+d$, где $a=-3$, $b=7$, $d=C$.

Абсцисса вершины: $x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2 \cdot (-3)} = \frac{7}{6}$.

Ордината вершины: $y_{верш} = F(x_{верш}) = -3(\frac{7}{6})^2 + 7(\frac{7}{6}) + C = -3 \cdot \frac{49}{36} + \frac{49}{6} + C = -\frac{49}{12} + \frac{98}{12} + C = \frac{49}{12} + C$.

Приравняем ординату вершины к 4:

$\frac{49}{12} + C = 4$

$C = 4 - \frac{49}{12} = \frac{48}{12} - \frac{49}{12} = -\frac{1}{12}$

Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = -3x^2 + 7x - \frac{1}{12}$.

Ответ: $F(x) = -3x^2 + 7x - \frac{1}{12}$.

б) f(x) = 3 - 2x.

Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 3 - 2x$:

$F(x) = \int (3 - 2x) dx = 3x - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = -x^2 + 3x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Графиком функции $F(x) = -x^2 + 3x + C$ является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-1$). Ее область значений — $(-\infty; y_{верш}]$.

По условию, область значений равна $(-\infty; 4]$, следовательно, $y_{верш} = 4$.

Найдем координаты вершины параболы $F(x) = ax^2+bx+d$, где $a=-1$, $b=3$, $d=C$.

Абсцисса вершины: $x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = \frac{3}{2}$.

Ордината вершины: $y_{верш} = F(x_{верш}) = -(\frac{3}{2})^2 + 3(\frac{3}{2}) + C = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} + C = -\frac{9}{4} + \frac{18}{4} + C = \frac{9}{4} + C$.

Приравняем ординату вершины к 4:

$\frac{9}{4} + C = 4$

$C = 4 - \frac{9}{4} = \frac{16}{4} - \frac{9}{4} = \frac{7}{4}$

Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = -x^2 + 3x + \frac{7}{4}$.

Ответ: $F(x) = -x^2 + 3x + \frac{7}{4}$.