Номер 20.33, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.33, страница 129.

20.33. Найдите ту первообразную для заданной функции $y = f(x)$, график которой касается заданной прямой $y = kx + m$:

a) $f(x) = 2x$, $y = x + 2$;

б) $f(x) = 3x^3$, $y = 3x + 5$.

а)

Требуется найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = 2x$, график которой касается прямой $y = x + 2$.

1. Найдем общий вид первообразных для функции $f(x)$.

$F(x) = \int f(x) \,dx = \int 2x \,dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Условие касания графика функции $y = F(x)$ и прямой $y = kx + m$ в точке с абсциссой $x_0$ означает выполнение двух равенств:

• $F(x_0) = kx_0 + m$ (значения функций в точке касания совпадают)
• $F'(x_0) = k$ (угловые коэффициенты касательных в точке касания равны)

В нашем случае $k=1$ и $m=2$. Так как по определению первообразной $F'(x) = f(x)$, второе условие принимает вид $f(x_0) = k$.

3. Найдем абсциссу точки касания $x_0$.

$f(x_0) = 1$

$2x_0 = 1$

$x_0 = \frac{1}{2}$

4. Найдем значение постоянной $C$, используя первое условие $F(x_0) = x_0 + 2$.

$F\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + 2$

Подставим найденное значение $x_0$ в выражение для $F(x)$:

$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + C = \frac{5}{2}$

$\frac{1}{4} + C = \frac{5}{2}$

$C = \frac{5}{2} - \frac{1}{4} = \frac{10}{4} - \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$

5. Таким образом, искомая первообразная имеет вид $F(x) = x^2 + \frac{9}{4}$.

Ответ: $F(x) = x^2 + \frac{9}{4}$

б)

Требуется найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = 3x^3$, график которой касается прямой $y = 3x + 5$.

1. Найдем общий вид первообразных для функции $f(x)$.

$F(x) = \int f(x) \,dx = \int 3x^3 \,dx = 3 \cdot \frac{x^4}{4} + C = \frac{3}{4}x^4 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Условия касания в точке $x_0$ для прямой $y = 3x + 5$ (здесь $k=3, m=5$):

• $F(x_0) = 3x_0 + 5$
• $F'(x_0) = 3$

Поскольку $F'(x) = f(x)$, второе условие записывается как $f(x_0) = 3$.

3. Найдем абсциссу точки касания $x_0$.

$f(x_0) = 3$

$3x_0^3 = 3$

$x_0^3 = 1$

$x_0 = 1$

4. Найдем значение постоянной $C$, используя первое условие $F(x_0) = 3x_0 + 5$.

$F(1) = 3(1) + 5$

Подставим $x_0 = 1$ в выражение для $F(x)$:

$\frac{3}{4}(1)^4 + C = 8$

$\frac{3}{4} + C = 8$

$C = 8 - \frac{3}{4} = \frac{32}{4} - \frac{3}{4} = \frac{29}{4}$

5. Таким образом, искомая первообразная имеет вид $F(x) = \frac{3}{4}x^4 + \frac{29}{4}$.

Ответ: $F(x) = \frac{3}{4}x^4 + \frac{29}{4}$