Номер 20.37, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.37, страница 130.

20.37. Скорость движения точки по координатной прямой задаётся формулой $v = - \frac{6}{\sqrt{2t + 1}}$. Найдите закон движения, если $s(0) = 3$.

Закон движения $s(t)$ является первообразной для функции скорости $v(t)$. Чтобы найти закон движения, необходимо найти неопределенный интеграл от функции скорости по времени $t$.

$s(t) = \int v(t) dt$

Подставим данную в условии формулу скорости:

$s(t) = \int \left(-\frac{6}{\sqrt{2t+1}}\right) dt = -6 \int \frac{1}{\sqrt{2t+1}} dt$

Представим подынтегральную функцию в виде степени для удобства вычисления:

$s(t) = -6 \int (2t+1)^{-\frac{1}{2}} dt$

Для вычисления данного интеграла воспользуемся формулой $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$. В нашем случае $a=2$, $b=1$ и $n = -\frac{1}{2}$.

$s(t) = -6 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{(2t+1)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} \right) + C$

$s(t) = -6 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{(2t+1)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right) + C$

$s(t) = -6 \cdot (2t+1)^{\frac{1}{2}} + C$

$s(t) = -6\sqrt{2t+1} + C$

Мы получили общее решение. Теперь необходимо найти значение константы интегрирования $C$, используя начальное условие $s(0) = 3$. Для этого подставим $t=0$ и $s(0)=3$ в полученное уравнение:

$3 = -6\sqrt{2 \cdot 0 + 1} + C$

$3 = -6\sqrt{1} + C$

$3 = -6 + C$

Отсюда находим $C$:

$C = 3 + 6 = 9$

Теперь подставим найденное значение $C=9$ в общее решение, чтобы получить искомый закон движения:

$s(t) = -6\sqrt{2t+1} + 9$

Ответ: $s(t) = 9 - 6\sqrt{2t+1}$.