Номер 20.34, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.34, страница 129.

20.34. Некоторая первообразная функции $y = 3 \cos 3x + 6 \sin 6x$ принимает в точке $x = \frac{\pi}{2}$ значение 6. Какое значение принимает та же первообразная в точке $x = \frac{\pi}{6}$?

Для решения задачи сначала найдем общий вид первообразной для функции $y = 3 \cos 3x + 6 \sin 6x$. Первообразная $F(x)$ находится путем интегрирования исходной функции $y(x)$.

$F(x) = \int (3 \cos 3x + 6 \sin 6x) dx = \int 3 \cos 3x dx + \int 6 \sin 6x dx$

Используя табличные интегралы $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + C$ и $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k} \cos(kx) + C$, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = 3 \cdot \frac{1}{3} \sin 3x + 6 \cdot (-\frac{1}{6} \cos 6x) + C = \sin 3x - \cos 6x + C$

где $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

По условию задачи, значение этой первообразной в точке $x = \frac{\pi}{2}$ равно 6. Это позволяет нам найти значение константы $C$. Подставим $x = \frac{\pi}{2}$ и $F(\frac{\pi}{2}) = 6$ в полученное уравнение:

$F(\frac{\pi}{2}) = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{2}) - \cos(6 \cdot \frac{\pi}{2}) + C = 6$

Вычислим значения тригонометрических функций:

$\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

$\cos(6 \cdot \frac{\pi}{2}) = \cos(3\pi) = -1$

Подставим эти значения в уравнение для $C$:

$-1 - (-1) + C = 6$

$-1 + 1 + C = 6$

$0 + C = 6 \implies C = 6$

Таким образом, искомая первообразная, удовлетворяющая условию, имеет вид:

$F(x) = \sin 3x - \cos 6x + 6$

Теперь найдем значение этой первообразной в точке $x = \frac{\pi}{6}$:

$F(\frac{\pi}{6}) = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{6}) - \cos(6 \cdot \frac{\pi}{6}) + 6$

$F(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2}) - \cos(\pi) + 6$

Вычислим значения тригонометрических функций:

$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

$\cos(\pi) = -1$

Подставляем и находим окончательный результат:

$F(\frac{\pi}{6}) = 1 - (-1) + 6 = 1 + 1 + 6 = 8$

Ответ: 8