Номер 20.38, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.38, страница 130.

20.38. Ускорение движения точки по координатной прямой задаётся формулой $a(t) = 2(t + 1)^2$. Найдите закон изменения скорости движения и закон движения, если $v(0) = 1$, $s(0) = 1$.

Закон изменения скорости движения

Скорость $v(t)$ является первообразной для ускорения $a(t)$, то есть $v(t) = \int a(t) \,dt$. Чтобы найти закон изменения скорости, необходимо проинтегрировать заданную функцию ускорения $a(t) = 2(t + 1)^2$.

$v(t) = \int 2(t + 1)^2 \,dt$

Воспользуемся формулой для интеграла степенной функции $\int u^n \,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае $u = t+1$ и $du = dt$.

$v(t) = 2 \int (t + 1)^2 \,d(t+1) = 2 \cdot \frac{(t+1)^{3}}{3} + C_1 = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + C_1$

Здесь $C_1$ — постоянная интегрирования. Для её определения используем начальное условие $v(0) = 1$. Подставим $t=0$ в полученное выражение для скорости:

$v(0) = \frac{2}{3}(0 + 1)^3 + C_1 = 1$

$\frac{2}{3} \cdot 1 + C_1 = 1$

$\frac{2}{3} + C_1 = 1$

$C_1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Следовательно, закон изменения скорости движения имеет вид:

Ответ: $v(t) = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3}$.

Закон движения

Закон движения $s(t)$ (координата) является первообразной для скорости $v(t)$, то есть $s(t) = \int v(t) \,dt$. Проинтегрируем найденную функцию скорости $v(t) = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3}$.

$s(t) = \int \left(\frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3}\right) \,dt = \int \frac{2}{3}(t + 1)^3 \,dt + \int \frac{1}{3} \,dt$

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

$\int \frac{2}{3}(t + 1)^3 \,dt = \frac{2}{3} \int (t+1)^3 \,d(t+1) = \frac{2}{3} \cdot \frac{(t+1)^{4}}{4} = \frac{1}{6}(t + 1)^4$

$\int \frac{1}{3} \,dt = \frac{1}{3}t$

Суммируя результаты и добавляя новую постоянную интегрирования $C_2$, получаем общее решение для $s(t)$:

$s(t) = \frac{1}{6}(t + 1)^4 + \frac{1}{3}t + C_2$

Для нахождения $C_2$ используем начальное условие $s(0) = 1$. Подставим $t=0$ в уравнение для $s(t)$:

$s(0) = \frac{1}{6}(0 + 1)^4 + \frac{1}{3}(0) + C_2 = 1$

$\frac{1}{6} \cdot 1 + 0 + C_2 = 1$

$\frac{1}{6} + C_2 = 1$

$C_2 = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Следовательно, закон движения точки имеет вид:

Ответ: $s(t) = \frac{1}{6}(t + 1)^4 + \frac{1}{3}t + \frac{5}{6}$.