Номер 20.44, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.44, страница 131.

20.44. а) $\int (\operatorname{tg}^2 x + 1) dx;$

Б) $\int (\operatorname{ctg}^2 x + 1) dx;$

б) $\int (\cos^2 x - \sin^2 x) dx;$

Г) $\int \sin x \cos x dx.$

а) Для нахождения неопределенного интеграла $\int (\text{tg}^2 x + 1) dx$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Заменив подынтегральное выражение, получим:
$\int (\text{tg}^2 x + 1) dx = \int \frac{1}{\cos^2 x} dx$
Интеграл от $\frac{1}{\cos^2 x}$ является табличным. Производная от $\text{tg} x$ равна $\frac{1}{\cos^2 x}$, следовательно, первообразная для $\frac{1}{\cos^2 x}$ есть $\text{tg} x$.
Таким образом, решение интеграла:
$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \text{tg} x + C$, где $C$ — константа интегрирования.
Ответ: $\text{tg} x + C$

б) Для нахождения неопределенного интеграла $\int (\cos^2 x - \sin^2 x) dx$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.
Подставим это тождество в подынтегральное выражение:
$\int (\cos^2 x - \sin^2 x) dx = \int \cos(2x) dx$
Для вычисления этого интеграла используем метод подстановки (замены переменной). Пусть $u = 2x$, тогда дифференциал $du = 2 dx$, и, следовательно, $dx = \frac{du}{2}$.
$\int \cos(2x) dx = \int \cos(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \cos(u) du$
Интеграл от $\cos(u)$ равен $\sin(u)$.
$\frac{1}{2} \int \cos(u) du = \frac{1}{2} \sin(u) + C$
Теперь выполним обратную замену, подставив $u = 2x$:
$\frac{1}{2} \sin(2x) + C$.
Ответ: $\frac{1}{2} \sin(2x) + C$

в) Для нахождения неопределенного интеграла $\int (\text{ctg}^2 x + 1) dx$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим котангенс и синус: $1 + \text{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$.
Заменив подынтегральное выражение, получим:
$\int (\text{ctg}^2 x + 1) dx = \int \frac{1}{\sin^2 x} dx$
Интеграл от $\frac{1}{\sin^2 x}$ является табличным. Производная от $-\text{ctg} x$ равна $\frac{1}{\sin^2 x}$, следовательно, первообразная для $\frac{1}{\sin^2 x}$ есть $-\text{ctg} x$.
Таким образом, решение интеграла:
$\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\text{ctg} x + C$, где $C$ — константа интегрирования.
Ответ: $-\text{ctg} x + C$

г) Для нахождения неопределенного интеграла $\int \sin x \cos x dx$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$.
Из этой формулы можно выразить произведение синуса на косинус: $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)$.
Подставим это выражение в наш интеграл:
$\int \sin x \cos x dx = \int \frac{1}{2} \sin(2x) dx = \frac{1}{2} \int \sin(2x) dx$
Как и в пункте б), используем метод замены переменной. Пусть $u = 2x$, тогда $du = 2 dx$, и $dx = \frac{du}{2}$.
$\frac{1}{2} \int \sin(2x) dx = \frac{1}{2} \int \sin(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{4} \int \sin(u) du$
Интеграл от $\sin(u)$ равен $-\cos(u)$.
$\frac{1}{4} \int \sin(u) du = -\frac{1}{4} \cos(u) + C$
Выполним обратную замену $u = 2x$:
$-\frac{1}{4} \cos(2x) + C$.
Ответ: $-\frac{1}{4} \cos(2x) + C$