Номер 20.41, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.41, страница 130.

20.41. Исследуйте функцию $y = F(x)$ на монотонность и экстремумы, если известно, что она является первообразной для функции $y = f(x)$:

а) $f(x) = 2x^2 + 5x - 7;$

б) $f(x) = \sqrt{5x - 24} \cdot \lg (x^2 - 6x + 6);$

в) $f(x) = 2^{x^2 - \sqrt{x} + 1};$

г) $f(x) = (x^2 - 5x - 14) \log_2 (5 - 2x).$

Поскольку функция $y = F(x)$ является первообразной для функции $y = f(x)$, то по определению первообразной $F'(x) = f(x)$. Для исследования функции $F(x)$ на монотонность и экстремумы, необходимо исследовать знак её производной $F'(x)$, то есть знак функции $f(x)$.

• Если $f(x) > 0$ на некотором интервале, то функция $F(x)$ на этом интервале возрастает.
• Если $f(x) < 0$ на некотором интервале, то функция $F(x)$ на этом интервале убывает.
• Точки, в которых $f(x) = 0$ или не существует, являются критическими точками для $F(x)$. В этих точках могут быть экстремумы (максимумы или минимумы), если при переходе через них знак $f(x)$ меняется.

а) $f(x) = 2x^2 + 5x - 7$

1. Производная функции $F(x)$ равна $F'(x) = f(x) = 2x^2 + 5x - 7$. Область определения функции $f(x)$ — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдём критические точки функции $F(x)$, решив уравнение $f(x) = 0$:

$2x^2 + 5x - 7 = 0$

Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3.5$ и $x_2 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

3. Определим знаки $f(x)$ на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty, -3.5)$, $(-3.5, 1)$ и $(1, +\infty)$. График функции $f(x)$ — парабола с ветвями, направленными вверх ($a=2 > 0$).

• На интервале $(-\infty, -3.5)$, $f(x) > 0$, следовательно, $F(x)$ возрастает.
• На интервале $(-3.5, 1)$, $f(x) < 0$, следовательно, $F(x)$ убывает.
• На интервале $(1, +\infty)$, $f(x) > 0$, следовательно, $F(x)$ возрастает.

4. В точке $x = -3.5$ производная $F'(x)$ меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума. В точке $x = 1$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума.

Ответ: функция $F(x)$ возрастает на промежутках $(-\infty, -3.5]$ и $[1, +\infty)$; убывает на промежутке $[-3.5, 1]$; $x_{max} = -3.5$; $x_{min} = 1$.

б) $f(x) = \sqrt{5x - 24} \cdot \lg(x^2 - 6x + 6)$

1. $F'(x) = f(x)$. Найдём область определения $f(x)$ из системы неравенств:

$\begin{cases} 5x - 24 \ge 0 \\ x^2 - 6x + 6 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства: $5x \ge 24 \implies x \ge 4.8$.

Для второго неравенства найдём корни уравнения $x^2 - 6x + 6 = 0$: $x = \frac{6 \pm \sqrt{36-24}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 3-\sqrt{3}) \cup (3+\sqrt{3}, +\infty)$.

Учитывая, что $3+\sqrt{3} \approx 3 + 1.732 = 4.732$, пересечение решений двух неравенств даёт область определения $D(f) = [4.8, +\infty)$.

2. Найдём критические точки, решив $f(x) = 0$ на области определения:

$\sqrt{5x - 24} \cdot \lg(x^2 - 6x + 6) = 0$

Это возможно, если:

• $\sqrt{5x - 24} = 0 \implies 5x = 24 \implies x = 4.8$. Эта точка принадлежит $D(f)$.
• $\lg(x^2 - 6x + 6) = 0 \implies x^2 - 6x + 6 = 1 \implies x^2 - 6x + 5 = 0$. Корни этого уравнения $x=1$ и $x=5$. Из них только $x=5$ принадлежит $D(f)$.

Критические точки: $x=4.8$ и $x=5$.

3. Определим знаки $f(x)$ на интервалах $(4.8, 5)$ и $(5, +\infty)$. Множитель $\sqrt{5x-24}$ положителен на этих интервалах. Знак $f(x)$ совпадает со знаком $\lg(x^2 - 6x + 6)$.

• На интервале $(4.8, 5)$: выражение $x^2 - 6x + 5$ отрицательно. Следовательно, $x^2 - 6x + 6 < 1$. Так как $x > 3+\sqrt{3}$, то $x^2 - 6x + 6 > 0$. Таким образом, $0 < x^2 - 6x + 6 < 1$, и $\lg(x^2 - 6x + 6) < 0$. Значит, $f(x) < 0$ и $F(x)$ убывает.
• На интервале $(5, +\infty)$: выражение $x^2 - 6x + 5$ положительно. Следовательно, $x^2 - 6x + 6 > 1$, и $\lg(x^2 - 6x + 6) > 0$. Значит, $f(x) > 0$ и $F(x)$ возрастает.

4. В точке $x=4.8$ (граница области определения) функция начинает убывать, это точка локального максимума. В точке $x = 5$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума.

Ответ: функция $F(x)$ возрастает на промежутке $[5, +\infty)$; убывает на промежутке $[4.8, 5]$; $x_{max} = 4.8$; $x_{min} = 5$.

в) $f(x) = 2x^2 - \sqrt{x} + 1$

1. $F'(x) = f(x) = 2x^2 - \sqrt{x} + 1$. Область определения $f(x)$ задаётся условием $x \ge 0$, то есть $D(f) = [0, +\infty)$.

2. Найдём критические точки, решив $f(x) = 0$:

$2x^2 - \sqrt{x} + 1 = 0$.

Сделаем замену $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x=t^2$ и $x^2=t^4$. Уравнение примет вид:

$2t^4 - t + 1 = 0$.

Исследуем функцию $g(t) = 2t^4 - t + 1$ при $t \ge 0$. Найдём её наименьшее значение. $g'(t) = 8t^3 - 1$. Найдём критическую точку из $g'(t)=0$: $8t^3 = 1 \implies t^3 = 1/8 \implies t = 1/2$. Это точка минимума для $g(t)$, так как $g''(t) = 24t^2 > 0$ при $t=1/2$.

Минимальное значение функции $g(t)$ равно $g(1/2) = 2(1/2)^4 - 1/2 + 1 = 2(1/16) - 1/2 + 1 = 1/8 - 4/8 + 8/8 = 5/8$.

Поскольку минимальное значение функции $g(t)$ равно $5/8$ и оно положительно, то $g(t) > 0$ для всех $t \ge 0$. Следовательно, уравнение $2t^4 - t + 1 = 0$ не имеет корней.

3. Это означает, что $f(x) = 2x^2 - \sqrt{x} + 1 > 0$ для всех $x$ из области определения. Критических точек нет.

4. Так как $F'(x) = f(x) > 0$ на всей области определения $[0, +\infty)$, функция $F(x)$ является монотонно возрастающей. Экстремумов во внутренних точках области определения нет. В граничной точке $x=0$ функция имеет минимум.

Ответ: функция $F(x)$ возрастает на промежутке $[0, +\infty)$; промежутков убывания нет; $x_{min} = 0$; точек максимума нет.

г) $f(x) = (x^2 - 5x - 14)\log_2(5 - 2x)$

1. $F'(x) = f(x)$. Область определения $f(x)$ задаётся условием $5 - 2x > 0 \implies 2x < 5 \implies x < 2.5$. Итак, $D(f) = (-\infty, 2.5)$.

2. Найдём критические точки из уравнения $f(x) = 0$:

$(x^2 - 5x - 14)\log_2(5 - 2x) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

• $x^2 - 5x - 14 = 0$. Корни $x_1 = 7, x_2 = -2$. Корень $x=7$ не входит в область определения. Подходит только $x=-2$.
• $\log_2(5 - 2x) = 0 \implies 5 - 2x = 2^0 = 1 \implies 2x = 4 \implies x = 2$. Корень $x=2$ входит в область определения.

Критические точки: $x=-2$ и $x=2$.

3. Определим знаки $f(x)$ на интервалах $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$ и $(2, 2.5)$. Для этого определим знаки каждого множителя.

Знак $g(x) = x^2 - 5x - 14$: парабола с ветвями вверх и корнями -2 и 7. $g(x)>0$ при $x<-2$; $g(x)<0$ при $-2<x<7$.

Знак $h(x) = \log_2(5 - 2x)$: $h(x)>0$ при $5-2x > 1 \implies x<2$; $h(x)<0$ при $0<5-2x<1 \implies 2<x<2.5$.

Теперь определим знак произведения $f(x)=g(x)h(x)$:

• На интервале $(-\infty, -2)$: $g(x)>0$, $h(x)>0 \implies f(x) > 0$. $F(x)$ возрастает.
• На интервале $(-2, 2)$: $g(x)<0$, $h(x)>0 \implies f(x) < 0$. $F(x)$ убывает.
• На интервале $(2, 2.5)$: $g(x)<0$ (т.к. $x<7$), $h(x)<0 \implies f(x) > 0$. $F(x)$ возрастает.

4. В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума. В точке $x = 2$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума.

Ответ: функция $F(x)$ возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[2, 2.5)$; убывает на промежутке $[-2, 2]$; $x_{max} = -2$; $x_{min} = 2$.