Номер 20.46, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 20. Первообразная и неопределённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 20.46, страница 131.

20.46. a) $ \int \sin^2 x dx; $

б) $ \int \sin^4 x dx; $

В) $ \int \cos^2 x dx; $

Г) $ \int \cos^4 x dx. $

а) Для нахождения интеграла от $sin^2 x$ используется тригонометрическая формула понижения степени: $sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.
Подставим это выражение в исходный интеграл:
$\int sin^2 x \,dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \,dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) \,dx$
Интеграл от разности равен разности интегралов:
$\frac{1}{2} \left( \int 1 \,dx - \int \cos(2x) \,dx \right)$
Находим каждый интеграл:
$\int 1 \,dx = x$
$\int \cos(2x) \,dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$
Подставляем обратно и добавляем константу интегрирования C:
$\frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{2}\sin(2x) \right) + C = \frac{x}{2} - \frac{1}{4}\sin(2x) + C$
Ответ: $\frac{x}{2} - \frac{1}{4}\sin(2x) + C$.

б) Для вычисления интеграла от $sin^4 x$ представим подынтегральную функцию как $(sin^2 x)^2$ и воспользуемся формулой понижения степени.
$sin^4 x = (sin^2 x)^2 = \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x))$
Для члена $\cos^2(2x)$ снова применим формулу понижения степени, $cos^2(y) = \frac{1 + \cos(2y)}{2}$, где $y=2x$:
$\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$
Подставим это в наше выражение:
$sin^4 x = \frac{1}{4}\left(1 - 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{2 - 4\cos(2x) + 1 + \cos(4x)}{2}\right) = \frac{1}{8}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x))$
Теперь интегрируем полученное выражение:
$\int \frac{1}{8}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) \,dx = \frac{1}{8} \left( \int 3 \,dx - 4\int \cos(2x) \,dx + \int \cos(4x) \,dx \right)$
$= \frac{1}{8} \left( 3x - 4 \cdot \frac{1}{2}\sin(2x) + \frac{1}{4}\sin(4x) \right) + C = \frac{3x}{8} - \frac{4\sin(2x)}{16} + \frac{\sin(4x)}{32} + C$
Упростим коэффициенты:
$\frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C$
Ответ: $\frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C$.

в) Для интеграла от $cos^2 x$ используется формула понижения степени для косинуса: $cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.
Подставляем в интеграл:
$\int cos^2 x \,dx = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \,dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos(2x)) \,dx$
Интегрируем почленно:
$\frac{1}{2} \left( \int 1 \,dx + \int \cos(2x) \,dx \right) = \frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{2}\sin(2x) \right) + C$
Раскрываем скобки и получаем результат:
$\frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin(2x) + C$
Ответ: $\frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin(2x) + C$.

г) Интеграл от $cos^4 x$ решается аналогично интегралу от $sin^4 x$. Представим $cos^4 x$ как $(cos^2 x)^2$.
$cos^4 x = (cos^2 x)^2 = \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x))$
Снова применяем формулу понижения степени для $\cos^2(2x)$:
$\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$
Подставляем это в выражение:
$cos^4 x = \frac{1}{4}\left(1 + 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{2 + 4\cos(2x) + 1 + \cos(4x)}{2}\right) = \frac{1}{8}(3 + 4\cos(2x) + \cos(4x))$
Теперь интегрируем:
$\int \frac{1}{8}(3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)) \,dx = \frac{1}{8} \left( \int 3 \,dx + 4\int \cos(2x) \,dx + \int \cos(4x) \,dx \right)$
$= \frac{1}{8} \left( 3x + 4 \cdot \frac{1}{2}\sin(2x) + \frac{1}{4}\sin(4x) \right) + C = \frac{3x}{8} + \frac{4\sin(2x)}{16} + \frac{\sin(4x)}{32} + C$
Упрощаем и получаем окончательный ответ:
$\frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C$
Ответ: $\frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C$.