Номер 21.5, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.5, страница 132.

Вычислите определённый интеграл:

21.5. a) $\int_1^2 \frac{4x^5 - 3x^4 + x^3 - 1}{x^2} dx$

б) $\int_{-2}^{-1} \frac{5x^7 - 4x^6 + 2x}{x^3} dx$

в) $\int_2^3 \frac{6x^4 - 4x^3 + 7x^2 - 1}{x^2} dx$

г) $\int_{-2}^{-1} \frac{3x^6 - 4x^5 - 7x^4 + 3x^2}{x^4} dx$

а) Для вычисления определённого интеграла $ \int_{1}^{2} \frac{4x^5 - 3x^4 + x^3 - 1}{x^2} dx $ сначала упростим подынтегральное выражение, разделив каждый член числителя на знаменатель:
$ \frac{4x^5 - 3x^4 + x^3 - 1}{x^2} = \frac{4x^5}{x^2} - \frac{3x^4}{x^2} + \frac{x^3}{x^2} - \frac{1}{x^2} = 4x^3 - 3x^2 + x - x^{-2} $
Теперь найдём первообразную для полученной функции, используя правило интегрирования степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $:
$ \int (4x^3 - 3x^2 + x - x^{-2}) dx = 4\frac{x^4}{4} - 3\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - \frac{x^{-1}}{-1} = x^4 - x^3 + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x} $
Применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная:
$ \int_{1}^{2} (4x^3 - 3x^2 + x - x^{-2}) dx = \left. \left(x^4 - x^3 + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x}\right) \right|_{1}^{2} $
$ = \left(2^4 - 2^3 + \frac{2^2}{2} + \frac{1}{2}\right) - \left(1^4 - 1^3 + \frac{1^2}{2} + \frac{1}{1}\right) $
$ = \left(16 - 8 + \frac{4}{2} + \frac{1}{2}\right) - \left(1 - 1 + \frac{1}{2} + 1\right) = \left(8 + 2 + \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} + 1\right) = 10\frac{1}{2} - 1\frac{1}{2} = 9 $
Ответ: 9

б) Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{-1} \frac{5x^7 - 4x^6 + 2x}{x^3} dx $. Упростим подынтегральное выражение:
$ \frac{5x^7 - 4x^6 + 2x}{x^3} = \frac{5x^7}{x^3} - \frac{4x^6}{x^3} + \frac{2x}{x^3} = 5x^4 - 4x^3 + 2x^{-2} $
Найдём первообразную:
$ \int (5x^4 - 4x^3 + 2x^{-2}) dx = 5\frac{x^5}{5} - 4\frac{x^4}{4} + 2\frac{x^{-1}}{-1} = x^5 - x^4 - \frac{2}{x} $
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{-2}^{-1} (5x^4 - 4x^3 + 2x^{-2}) dx = \left. \left(x^5 - x^4 - \frac{2}{x}\right) \right|_{-2}^{-1} $
$ = \left((-1)^5 - (-1)^4 - \frac{2}{-1}\right) - \left((-2)^5 - (-2)^4 - \frac{2}{-2}\right) $
$ = (-1 - 1 + 2) - (-32 - 16 + 1) = 0 - (-47) = 47 $
Ответ: 47

в) Вычислим интеграл $ \int_{2}^{3} \frac{6x^4 - 4x^3 + 7x^2 - 1}{x^2} dx $. Упростим подынтегральное выражение:
$ \frac{6x^4 - 4x^3 + 7x^2 - 1}{x^2} = \frac{6x^4}{x^2} - \frac{4x^3}{x^2} + \frac{7x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2} = 6x^2 - 4x + 7 - x^{-2} $
Найдём первообразную:
$ \int (6x^2 - 4x + 7 - x^{-2}) dx = 6\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} + 7x - \frac{x^{-1}}{-1} = 2x^3 - 2x^2 + 7x + \frac{1}{x} $
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{2}^{3} (6x^2 - 4x + 7 - x^{-2}) dx = \left. \left(2x^3 - 2x^2 + 7x + \frac{1}{x}\right) \right|_{2}^{3} $
$ = \left(2 \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^2 + 7 \cdot 3 + \frac{1}{3}\right) - \left(2 \cdot 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2 + \frac{1}{2}\right) $
$ = \left(2 \cdot 27 - 2 \cdot 9 + 21 + \frac{1}{3}\right) - \left(2 \cdot 8 - 2 \cdot 4 + 14 + \frac{1}{2}\right) $
$ = \left(54 - 18 + 21 + \frac{1}{3}\right) - \left(16 - 8 + 14 + \frac{1}{2}\right) = \left(57 + \frac{1}{3}\right) - \left(22 + \frac{1}{2}\right) $
$ = 57 + \frac{1}{3} - 22 - \frac{1}{2} = 35 + \frac{2-3}{6} = 35 - \frac{1}{6} = 34\frac{5}{6} $
Ответ: $ 34\frac{5}{6} $

г) Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{-1} \frac{3x^6 - 4x^5 - 7x^4 + 3x^2}{x^4} dx $. Упростим подынтегральное выражение:
$ \frac{3x^6 - 4x^5 - 7x^4 + 3x^2}{x^4} = \frac{3x^6}{x^4} - \frac{4x^5}{x^4} - \frac{7x^4}{x^4} + \frac{3x^2}{x^4} = 3x^2 - 4x - 7 + 3x^{-2} $
Найдём первообразную:
$ \int (3x^2 - 4x - 7 + 3x^{-2}) dx = 3\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} - 7x + 3\frac{x^{-1}}{-1} = x^3 - 2x^2 - 7x - \frac{3}{x} $
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{-2}^{-1} (3x^2 - 4x - 7 + 3x^{-2}) dx = \left. \left(x^3 - 2x^2 - 7x - \frac{3}{x}\right) \right|_{-2}^{-1} $
$ = \left((-1)^3 - 2(-1)^2 - 7(-1) - \frac{3}{-1}\right) - \left((-2)^3 - 2(-2)^2 - 7(-2) - \frac{3}{-2}\right) $
$ = (-1 - 2 \cdot 1 + 7 + 3) - (-8 - 2 \cdot 4 + 14 + \frac{3}{2}) $
$ = (-1 - 2 + 7 + 3) - (-8 - 8 + 14 + 1.5) = 7 - (-16 + 14 + 1.5) = 7 - (-2 + 1.5) = 7 - (-0.5) = 7.5 $
Ответ: 7,5