Номер 21.12, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.12, страница 133.

21.12. a) $\int_{0}^{\pi} \left( \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) \cos x - \sin x \cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right) \right) dx;$

б) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{6}} \left( \cos 2x \cos \left( \frac{\pi}{3} - x \right) - \sin 2x \sin \left( \frac{\pi}{3} - x \right) \right) dx.$

а) Для решения этого интеграла воспользуемся тригонометрической формулой синуса разности двух углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $

В подынтегральном выражении $\sin\left(\frac{\pi}{3} + x\right)\cos x - \sin x \cos\left(\frac{\pi}{3} + x\right)$ можно заметить, что если принять $\alpha = \frac{\pi}{3} + x$ и $\beta = x$, то оно полностью соответствует правой части формулы.

Таким образом, подынтегральное выражение можно упростить: $ \sin\left(\left(\frac{\pi}{3} + x\right) - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Теперь исходный интеграл принимает вид: $ \int_{0}^{\pi} \frac{\sqrt{3}}{2} dx $

Вычислим этот определенный интеграл: $ \int_{0}^{\pi} \frac{\sqrt{3}}{2} dx = \frac{\sqrt{3}}{2} \int_{0}^{\pi} dx = \frac{\sqrt{3}}{2} [x]_{0}^{\pi} = \frac{\sqrt{3}}{2}(\pi - 0) = \frac{\pi\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \frac{\pi\sqrt{3}}{2} $

б) Для решения этого интеграла воспользуемся тригонометрической формулой косинуса суммы двух углов: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $

В подынтегральном выражении $\cos 2x \cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) - \sin 2x \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$ можно заметить, что если принять $\alpha = 2x$ и $\beta = \frac{\pi}{3} - x$, то оно полностью соответствует правой части формулы.

Таким образом, подынтегральное выражение можно упростить: $ \cos\left(2x + \left(\frac{\pi}{3} - x\right)\right) = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) $

Теперь исходный интеграл принимает вид: $ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{6}} \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) dx $

Вычислим этот определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница. Первообразная для $\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ равна $\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$: $ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{6}} \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) dx = \left[ \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{6}} = \sin\left(\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}\right) $

Вычислим значения в точках: $ \sin\left(\frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}\right) - \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) - \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) $

Поскольку $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $ -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1 + \sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ -\frac{1 + \sqrt{3}}{2} $