Номер 21.17, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.17, страница 134.

21.17. a) $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x};$

Б) $\int_{1}^{2} \left( e^x + \frac{1}{x} \right) dx;$

В) $\int_{0}^{1} \frac{0,1}{x + 1} dx;$

Г) $\int_{1}^{2} \left( e^{2x} + \frac{2}{x} \right) dx.$

а) $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x}$

Для вычисления данного определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ - первообразная для функции $f(x)$.

В данном случае подынтегральная функция $f(x) = \frac{1}{x}$. Первообразной для этой функции является натуральный логарифм: $F(x) = \ln|x|$.

Теперь подставим пределы интегрирования:

$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x} = \left. \ln|x| \right|_{1}^{2} = \ln|2| - \ln|1|$

На отрезке интегрирования $[1, 2]$ переменная $x$ принимает положительные значения, поэтому знак модуля можно опустить. Мы знаем, что значение $\ln(1) = 0$.

$\ln(2) - \ln(1) = \ln(2) - 0 = \ln(2)$

Ответ: $\ln(2)$

б) $\int_{1}^{2} \left(e^x + \frac{1}{x}\right) dx$

Используем свойство линейности интеграла, которое позволяет нам разбить интеграл от суммы на сумму интегралов:

$\int_{1}^{2} \left(e^x + \frac{1}{x}\right) dx = \int_{1}^{2} e^x dx + \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$

Найдем первообразные для каждой из функций. Первообразная для $e^x$ есть сама функция $e^x$. Первообразная для $\frac{1}{x}$ есть $\ln|x|$.

Следовательно, первообразная для всей подынтегральной функции $e^x + \frac{1}{x}$ равна $F(x) = e^x + \ln|x|$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left. (e^x + \ln|x|) \right|_{1}^{2} = (e^2 + \ln|2|) - (e^1 + \ln|1|)$

Поскольку на отрезке $[1, 2]$ $x > 0$, то $|x| = x$. Также $\ln(1) = 0$.

$(e^2 + \ln(2)) - (e + 0) = e^2 - e + \ln(2)$

Ответ: $e^2 - e + \ln(2)$

в) $\int_{0}^{1} \frac{0.1}{x+1} dx$

Для начала вынесем постоянный множитель $0.1$ за знак интеграла:

$0.1 \int_{0}^{1} \frac{1}{x+1} dx$

Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{x+1}$ находится с помощью простой замены переменной $u=x+1$, где $du=dx$. Интеграл $\int \frac{du}{u} = \ln|u|$, следовательно, первообразная для нашей функции есть $F(x) = \ln|x+1|$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница к выражению:

$0.1 \left. \ln|x+1| \right|_{0}^{1} = 0.1 (\ln|1+1| - \ln|0+1|) = 0.1 (\ln|2| - \ln|1|)$

На отрезке интегрирования $[0, 1]$ выражение $x+1$ всегда положительно, поэтому знак модуля можно убрать. Зная, что $\ln(1)=0$, получаем:

$0.1 (\ln(2) - 0) = 0.1 \ln(2)$

Ответ: $0.1 \ln(2)$

г) $\int_{1}^{2} \left(e^{2x} + \frac{2}{x}\right) dx$

Воспользуемся свойством линейности и разобьем интеграл на сумму двух интегралов:

$\int_{1}^{2} \left(e^{2x} + \frac{2}{x}\right) dx = \int_{1}^{2} e^{2x} dx + \int_{1}^{2} \frac{2}{x} dx$

Найдем первообразные для каждого слагаемого.

1. Для первого слагаемого $\int e^{2x} dx$. Первообразная равна $\frac{1}{2}e^{2x}$.

2. Для второго слагаемого $\int \frac{2}{x} dx = 2 \int \frac{1}{x} dx$. Первообразная равна $2\ln|x|$.

Таким образом, первообразная для всей подынтегральной функции есть $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + 2\ln|x|$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left. \left(\frac{1}{2}e^{2x} + 2\ln|x|\right) \right|_{1}^{2} = \left(\frac{1}{2}e^{2 \cdot 2} + 2\ln|2|\right) - \left(\frac{1}{2}e^{2 \cdot 1} + 2\ln|1|\right)$

На отрезке $[1, 2]$ $x>0$, поэтому $|x|=x$. Также мы знаем, что $\ln(1)=0$.

$\left(\frac{1}{2}e^4 + 2\ln(2)\right) - \left(\frac{1}{2}e^2 + 2 \cdot 0\right) = \frac{1}{2}e^4 + 2\ln(2) - \frac{1}{2}e^2$

Для более удобной записи перегруппируем слагаемые:

$\frac{1}{2}e^4 - \frac{1}{2}e^2 + 2\ln(2)$

Ответ: $\frac{1}{2}e^4 - \frac{1}{2}e^2 + 2\ln(2)$