Номер 21.15, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 21. Определённый интеграл. Глава 4. Первообразная и интеграл. ч. 2 - номер 21.15, страница 134.

21.15. а) $\int_0^1 e^x dx;$

б) $\int_{-1}^1 3e^x dx;$

в) $\int_{-1}^0 \frac{1}{2} e^x dx;$

г) $\int_{-2}^1 -2e^x dx.$

Для решения всех задач используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$. Первообразной для функции $f(x) = e^x$ является функция $F(x) = e^x$.

а) $\int_{0}^{1} e^x dx$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница с первообразной $F(x) = e^x$ и пределами интегрирования от 0 до 1:

$\int_{0}^{1} e^x dx = [e^x]_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1$.

Ответ: $e - 1$.

б) $\int_{-1}^{1} 3e^x dx$

Выносим константу 3 за знак интеграла:

$3 \int_{-1}^{1} e^x dx$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница с первообразной $F(x) = e^x$ и пределами интегрирования от -1 до 1:

$3 [e^x]_{-1}^{1} = 3(e^1 - e^{-1}) = 3(e - \frac{1}{e})$.

Ответ: $3(e - \frac{1}{e})$.

в) $\int_{-1}^{0} \frac{1}{2}e^x dx$

Выносим константу $\frac{1}{2}$ за знак интеграла:

$\frac{1}{2} \int_{-1}^{0} e^x dx$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница с первообразной $F(x) = e^x$ и пределами интегрирования от -1 до 0:

$\frac{1}{2} [e^x]_{-1}^{0} = \frac{1}{2}(e^0 - e^{-1}) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{e})$.

Ответ: $\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{e})$.

г) $\int_{-2}^{1} -2e^x dx$

Выносим константу -2 за знак интеграла:

$-2 \int_{-2}^{1} e^x dx$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница с первообразной $F(x) = e^x$ и пределами интегрирования от -2 до 1:

$-2 [e^x]_{-2}^{1} = -2(e^1 - e^{-2}) = -2(e - \frac{1}{e^2})$.

Ответ: $-2(e - \frac{1}{e^2})$.